shkolaput.ru 1



Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"



Факультет Экономики


Программа дисциплины

Анализ временных рядов - 2


для направления 080100.68 - Экономика

подготовки магистра

для магистерской программы «Математические методы анализа экономики»

Автор: Канторович Г.Г., к.ф.-м.н., доцент

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры


«Математические и статистические методы «Математическая экономика и

в экономике» эконометрика»

Председатель Зав. кафедрой


Поспелов И.Г. Канторович Г.Г.

«_____» __________________ 201 г. «____»___________________ 201 г.


Утверждена УС факультета

_________________________________

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________201 г.

Москва, 2011


Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.


Курс "Анализ временных рядов-2" рассчитан на студентов 1-го курса магистратуры специализации «Математические методы анализа экономики».

Материал курса предназначен для использования в курсах, связанных с количественным анализом динамики реальных экономических явлении, таких как, например, макроэкономика, прикладная макроэкономика, теория финансов и других. Может быть использован в спецкурсах по теории случайных процессов, математическим моделям в экономике, оптимальному управлению, статистическому прогнозированию, применению методов теории вероятностей в финансовой математике, принятию решений в условиях неопределенности.



Требования к студентам: курс "Анализ временных рядов-2" рассчитан на студентов, прослушавших курс математического анализа, включающий дифференциальное и интегральное исчисление, а также курсы линейной алгебры, методов оптимальных решений, экономической статистики, теории вероятностей и математической статистики, эконометрики.


Тематический план учебной дисциплины




Название темы

Всего часов по дисциплине

Аудиторные часы

Самостоятельная работа










Лекции

Сем. и практ. занятия




1


Временной ряд, как дискретный случайный процесс. Стационарность случайных процессов

13.5

2

2

9.5

2

Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (р,q). Автокорреляционные и частные автокорреляционные функции.

13.5

2

2

9.5

3

Оценивание коэффициентов процессов ARMA (p,q). Информационные критерии.

13.5


2

2

9.5

4

Прогнозирование в модели Бокса-Дженкинса

6.75

1

1

4.75

5

Нестационарные временные ряды. Кажущаяся регрессия. Подход Бокса-Дженкинса к определению степени интеграции временного ряда.

13.5

2

2

9.5

6

Тесты на единичные корни: тесты Дикки-Фуллера, Филлипса-Перрона, KPSS И др.

40.5

6

6

28.5




Единичные корни и структурные сдвиги: ТЕСТЫ ПЕРРОНА И ЗИВОТА-ЭНДРЮСА

13.5

2

2

9.5

7

Методика исследования типа нестационарности временного ряда TSP или DSP.

7.75

2

1

4.75

8

Авторегрессионные модели с распределенными лагами. Понятие экзогенности (слабой, сильной, супер–). Причинность по Грэнджеру (Granger Causality).



14.5

3

2

9.5

9

Коинтеграция временных рядов. Коинтеграционная регрессия. Общие множители и тренды. Модели коррекции ошибками.

13.5

2

2

9.5

10

Многомерные временные ряды. Структурная и приведенная формы многомерных моделей. Модели векторной авторегрессии (VAR). Стационарность VAR-моделей. Оценивание коэффициентов VAR моделей.

38.5

4

6

28.5




Нелинейные модели временных рядов: ARCH, GARCH и др.

27

4

4

19




Итого:

216

32

32

152



Базовый учебник (и) или ридер (ы)

Основная литература по курсу:

(1) Канторович Г.Г., Лекции по курсу «Анализ временных рядов», Экономический журнал ВШЭ, №№1-4, 2002, №1, 2003.

(2) Mills, T.C. and R.N. Markellos, 2008, The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, 3rd ed.

(3) Mills, T.C., 2008, 1999, The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, 2nd ed.


(4) Enders, W., 2003, Applied Econometric Time Series, Wiley Publ., 2nd ed.


Формы контроля:


Предусмотрено проведение контрольной работы и сдача одного эссе. Основная форма контроля – письменный экзамен. Итоговая оценка проставляется по 10 бальной системе.


Необходимым условием отличной оценки на экзамене является отлично выполненная контрольная работа (20% итоговой оценки), и эссе (20% итоговой оценки), полное владение теоретическим материалом, отлично выполненная экзаменационная работа 60% итоговой оценки). Необходимым условием хорошей оценки на экзамене является твердое знание основ курса, сдача эссе, хорошо выполненная контрольная работа и экзаменационное исследование.


Содержание программы



  1. Понятие случайного (стохастического) процесса. Временной ряд, как дискретный случайный процесс. Слабо и сильно стационарные случайные процессы. Характеристики случайных процессов (математическое ожидание, дисперсия, автоковариационная и автокорреляционная функции). Теорема Вольда. Оператор лага.

  2. Модели скользящего среднего MA(q). Условие обратимости. Модели авторегрессии AR(p). Уравнения Юла-Уокера. Разностные уравнения. Условие стационарности. Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p,q). Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции.

  3. Оценивание коэффициентов авторегрессионных моделей. Оценивание коэффициентов моделей скользящего среднего методами наибольшего правдоподобия и поиска на сетке. Оценивание коэффициентов процессов ARMA (р). Качество подгонки моделей временных рядов. Информационные критерие Акаике (AIC) и Шварца (BIC). "Портмонто"-статистика. Подход Бокса-Дженкинса к идентификации моделей стационарных временных рядов.
  4. Прогнозирование в модели Бокса-Дженкинса. Тренд и сезонность в модели Бокса-Дженкинса. Коэффициент множественной детерминации в моделях временных рядов.


  5. Нестационарные временные ряды. Случайное блуждание. Ряды с нестационарной дисперсией. Нестационарное среднее. Процессы, приводимые к стационарным, выделением тренда (TSP) и взятием последовательных разностей (DSP). Модели АRIМА (р,1, q). Подход Бокса-Дженкинса к определению степени интеграции временного ряда.

  6. Кажущиеся тренды и регрессионные зависимости. Тест Дикки-Фуллера на наличие единичных корней. Мощность теста Дикки-Фуллера и выбор альтернативной гипотезы. ADF тест и выбор числа лагов. Непараметрический тест Филлипса и Перрона. Альтернативные тесты на единичные корни. Тест КПСС.

  7. Тесты на единичные корни со структурными сдвигами. Тест Перрона (с экзогенным структурным сдвигом). Тест Эндрюса-Живота (с эндогенным структурным сдвигом). Тесты на единичные корни со множественными структурными сдвигами.

  8. Методика исследования типа нестационарности временного ряда TS или DS. Использование специализированного компьютерного пакета Eviews. Сегментированные тренды и структурные изменения.

  9. Регрессионные динамические модели. Авторегрессионые модели с распределенными лагами (ADL). Понятие экзогенности. Слабая, сильная и супер-экзогенность переменных. Причинность по Грэнджеру (Granger causality).

  10. Коинтеграция временных рядов. Векторная авторегрессия (VAR(p)) и коинтеграция. Коинтеграция и модель коррекции ошибками (Error Correction Model).

  11. Многомерные временные ряды. Структурная и приведенная формы многомерных моделей. Модели векторной авторегрессии (VAR). Стационарность VAR-моделей. Оценивание коэффициентов VAR моделей.

  12. Коинтеграция временных рядов. Коинтеграционная регрессия. Тестирование коинтеграции. Тест Йохансана.

  13. . Проверка гипотезы о рациональных ожиданиях. Проверка гипотезы об эффективности рынка. Общие множители и общие тренды.

Основная литература


(1) Канторович Г.Г., Лекции по курсу «Анализ временных рядов», Экономический журнал ВШЭ, №№1-4, 2002, №1, 2003.

(2) Mills, T.C. and R.N. Markellos, 2008, The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, 3rd ed.

(3) Mills, T.C., 2008, 1999, The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, 2nd ed.

(4) Enders, W., 2003, Applied Econometric Time Series, Wiley Publ., 2nd ed.

Дополнительная литература

(5) Patterson, K.D., 2000, Introduction to Applied Econometrics: A Time Series Approach, Palgrave Macmillan

(6) Brockwell, P.J., and R.A. Davis, 2003, Introduction to Time Series and Forecasting, Springer Publ., 2nd ed.

(7) Hamilton J.D., 1994, Time Series Analysis, Princeton University Press

(8) Box, G.E.P., G.M. Jenkins, and G.C. Reinsel, 2008, Time Series Analysis: Forecasting and Control (Wiley Series in Probability and Statistics), Wiley Publ., 4th ed.

(9) Maddala, G.S. and In-Moo Kim, 1999, Unit Roots, Cointegration, and Structural Changes (Themes in Modern Econometrics), Cambridge University Press

(10) Banerjee, A., J. Dolado, J.W. Galbraith, and D.F. Hendry, 1993, Co-integration, error-correction, and the econometric analysis of non-stationary data, N.Y., Oxford Univ. Press

(11) Harvey, A.C., 1993, Time Series Models, Harvester Wheatsheaf, 2nd ed.


Источники статистических данных

(12) Сайт Росстата www.gks.ru

(13) Сайт Центрального банка России www.cbr.ru

(14) Сайт статистики валютных курсов www.oanda.ru


(15) «Экономический журнал ВШЭ» (продолжающееся издание). Статистический раздел.


Тематика заданий по различным формам текущего контроля:


Задание № 1.

А). Дайте определения слабо и строго стационарного дискретного стохастического процесса.

Б). Является ли процесс стационарным в широком смысле? Почему?

В). Является ли процесс стационарным второго порядка? Почему?


Задание № 2.

А). Выведите автокорреляционную функцию и посчитайте первые пять автокорреляций и частных автокорреляций процесса

.

Б). Опишите основные свойства автокорреляционной и частной автокорреляционной функций процессов AR(p) и MA(q).

В). Два первых значения выборочной автокорреляционной функции ряда из 226 наблюдений составили 0,7 и 0,5 соответственно. Рассчитайте первые два значения выборочной частной автокорреляционной функции.

Напоминание: k-е значение выборочной частной автокорреляционной функции – это МНК-оценка и регрессии .


Задание № 3.

Для процессов

А). МА(1): ;

Б). ARMA(1, 1):

постройте прогноз на h (h=1, 2, 3,…) шагов вперед. Вычислите дисперсию ошибки прогнозирования.

Задание № 4.


В таблице 1 приведены значения выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций темпа роста ИПЦ РФ за период с сентября 1992 по декабрь 2000 года включительно.

А). Какой вывод можно сделать о типе процесса (в терминах ARIMA(p, d, q)), описывающего ряд темпа роста ИПЦ? Поясните ответ.

Б). Какие выводы можно сделать, основываясь на значениях Q-статистики? Дайте развернутый ответ.

В таблице 2 приведены значения информационных критериев Акаике и Шварца для моделей ARMA(p, q) ().

В). Выберите модель, наилучшим образом оценивающую темп роста ИПЦ, с точки зрения информационных критериев. Поясните Ваш выбор.


Таблица 1





AC

PAC


Q-Stat

Prob

1

-0.299

-0.299

9.2340

0.002

2

-0.099

-0.208

10.261

0.006

3

0.120

0.025

11.776

0.008

4

-0.010

0.024

11.787


0.019

5

-0.082

-0.059

12.508

0.028

6

-0.044

-0.110

12.721

0.048

7

-0.011

-0.097

12.735

0.079

8

0.000

-0.048

12.735

0.121

9

0.014

0.003

12.757

0.174

10

0.023

0.031

12.816

0.234

11

-0.033

-0.029

12.941

0.297

12

0.008

-0.031

12.949

0.373

13

-0.044

-0.087

13.181


0.434

14

0.006

-0.042

13.185

0.512

15

0.023

0.008

13.251

0.583

16

0.010

0.035

13.264

0.653

17

-0.026

-0.014

13.349

0.713

18

-0.014

-0.055

13.372

0.769

19

-0.044

-0.111

13.613

0.806

20

0.006

-0.063

13.617

0.849

21

0.006

-0.015

13.621

0.885

22

0.017

0.032

13.658

0.913


23

0.017

0.033

13.697

0.935

24

0.041

0.038

13.927

0.948

25

0.012

0.013

13.945

0.963

Таблица 2


Критерий

p\q

0

1

2


AIC

0




-3,4040

-3,4164

1

-3,2774

-3,4312

-3,3848

2

-3,4083

-3,3884

-3,3939





BIC

0




-3,3519

-3,3904

1


-3,3513

-3,3791

-3,3066

2

-3,3562

-3,3103

-3,2897



Задание № 5.

В таблицах 3, 6 приведены оценки моделей (1 и 2) ARMA(p, q) для темпа роста ИПЦ РФ за период 09:1992–12:2000.

А). Запишите уравнения, соответствующие каждой модели.

В таблицах 4, 5, 7, 8 и на графиках 1, 2 приведены результаты различных тестов для остатков в моделях 1 и 2.

Б). Какие гипотезы проверяются при помощи каждого из этих тестов?

В). Что Вы можете сказать об остатках каждой модели, опираясь на результаты тестов? Можно ли сказать, что остатки являются «белым шумом»?

Г). Исходя из выводов, сделанных в пункте В, что можно сказать об адекватности построенных моделей?


Таблица 3: Модель 1


Dependent Variable: CPIGR

Method: Least Squares

Included observations: 100

Convergence achieved after 7 iterations

Backcast: 1992:08

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1)


0.425843

0.157574

2.702501

0.0081

MA(1)

-0.787388

0.106920

-7.364257

0.0000

R-squared

0.155539

Mean dependent var

0.000332

Adjusted R-squared

0.146922

S.D. dependent var

0.046654

S.E. of regression

0.043091

Akaike info criterion

-3.431218

Sum squared resid

0.181968

Schwarz criterion

-3.379115

Log likelihood

173.5609

Durbin-Watson stat

2.097771

Inverted AR Roots

.43

Inverted MA Roots

.79



Таблица 4: ACF, PACF и Q-статистики для остатков модели 1



AC

PAC

Q-Stat

Prob

1

-0.050

-0.050

0.2564




2

0.031

0.028

0.3545




3

0.170

0.174

3.3970

0.065

4

0.031

0.049

3.4998

0.174

5

-0.061

-0.070

3.8974

0.273

6

-0.048

-0.092

4.1502

0.386

7

-0.029

-0.049

4.2454

0.515

8

-0.018

0.005

4.2826

0.638

9


-0.008

0.027

4.2890

0.746

10

-0.002

0.017

4.2893

0.830

11

-0.046

-0.052

4.5305

0.873

12

-0.007

-0.028

4.5361

0.920

13

-0.043

-0.052

4.7500

0.943

14

0.003

0.016

4.7513

0.966

15

0.019

0.040

4.7958

0.979

16

0.002

0.020

4.7962

0.988

17

-0.020

-0.032

4.8468

0.993

18


-0.020

-0.053

4.8985

0.996

19

-0.045

-0.066

5.1584

0.997

20

0.006

0.015

5.1636

0.999

21

0.020

0.055

5.2141

0.999

22

0.038

0.072

5.3993

0.999

23

0.041

0.039

5.6167

1.000

24

0.053

0.018

5.9980

1.000

25

0.021

-0.016

6.0607

1.000



Таблица 5: Тест Бройша-Годфри для остатков модели 1

F-statistic


0.503982

Probability

0.916389

Obs*R-squared

7.104042

Probability

0.896710




Test Equation:

Variable

Coefficient

Std. Error


t-Statistic

Prob.

AR(1)

0.356824

0.671489

0.531392

0.5965

MA(1)

-0.309720

0.281625

-1.099761

0.2745

RESID(-1)

-0.132986

0.669012

-0.198780

0.8429

RESID(-2)

0.127342

0.331528

0.384107

0.7019

RESID(-3)

0.320325

0.211240

1.516402

0.1331

RESID(-4)

0.180434


0.170596

1.057671

0.2932

RESID(-5)

0.024304

0.150351

0.161648

0.8720

RESID(-6)

-0.025914

0.136706

-0.189563

0.8501

RESID(-7)

0.009773

0.127160

0.076856

0.9389

RESID(-8)

0.066268

0.120190

0.551363

0.5828

RESID(-9)

0.080387

0.116076

0.692533

0.4905

RESID(-10)

0.058295

0.114098

0.510917

0.6107

RESID(-11)

-0.022076

0.111056

-0.198787

0.8429

RESID(-12)

-0.008309

0.109898

-0.075605

0.9399

RESID(-13)


-0.034726

0.108771

-0.319258

0.7503

R-squared

0.071040

Mean dependent var

-0.001012

Adjusted R-squared

-0.081965

S.D. dependent var

0.042861

S.E. of regression

0.044582

Akaike info criterion

-3.245472

Sum squared resid

0.168946

Schwarz criterion

-2.854696

Log likelihood

177.2736

Durbin-Watson stat

1.985118



График 1: Тест Харке-Бера для остатков модели 1




Таблица 6: Модель 2


Dependent Variable: CPIGR

Method: Least Squares

Included observations: 100

Convergence achieved after 7 iterations


Backcast: 1992:08

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

MA(1)

-0.421104

0.089630

-4.698255

0.0000

R-squared

0.125637

Mean dependent var

0.000332

Adjusted R-squared

0.125637

S.D. dependent var

0.046654

S.E. of regression

0.043625

Akaike info criterion

-3.416420

Sum squared resid

0.188411

Schwarz criterion

-3.390369

Log likelihood

171.8210

Durbin-Watson stat

1.912277

Inverted MA Roots

.42


Таблица 7: ACF, PACF и Q-статистики для остатков модели 2




AC

PAC

Q-Stat

Prob

1

0.043

0.043

0.1928




2

-0.050

-0.052

0.4514

0.502

3

0.091

0.096

1.3294

0.514

4

-0.022

-0.034

1.3801

0.710

5

-0.124

-0.113

3.0386

0.551

6

-0.104

-0.107

4.2153

0.519

7

-0.053

-0.053

4.5218

0.606

8

-0.014

0.000

4.5446

0.715

9


0.012

0.021

4.5596

0.803

10

0.012

0.001

4.5753

0.870

11

-0.038

-0.065

4.7402

0.908

12

-0.022

-0.047

4.7983

0.941

13

-0.050

-0.070

5.0960

0.955

14

-0.002

0.009

5.0962

0.973

15

0.025

0.028

5.1686

0.983

16

0.002

0.003

5.1694

0.991

17

-0.038

-0.061

5.3496

0.994

18


-0.047

-0.083

5.6295

0.995

19

-0.063

-0.089

6.1348

0.996

20

-0.010

-0.003

6.1466

0.998

21

0.019

0.032

6.1913

0.999

22

0.045

0.052

6.4568

0.999

23

0.060

0.032

6.9295

0.999

24

0.075

0.025

7.6897

0.999

25

0.043

0.002

7.9406

0.999

Таблица 8: Тест Бройша-Годфри для остатков модели 2

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:


F-statistic

0.542026

Probability

0.891722

Obs*R-squared

7.566852

Probability

0.870630
















Test Equation:

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

MA(1)

-0.737316

0.506569

-1.455510

0.1492

RESID(-1)

0.752896

0.510854

1.473799

0.1442

RESID(-2)

0.248064

0.235433

1.053648

0.2950

RESID(-3)

0.230338

0.137823

1.671267

0.0983

RESID(-4)

0.027926


0.113141

0.246824

0.8056

RESID(-5)

-0.096674

0.107877

-0.896143

0.3727

RESID(-6)

-0.115786

0.107652

-1.075559

0.2851

RESID(-7)

-0.065404

0.108137

-0.604829

0.5469

RESID(-8)

-0.003121

0.107583

-0.029013

0.9769

RESID(-9)

0.020794

0.106805

0.194688

0.8461

RESID(-10)

0.008007

0.106808

0.074964

0.9404

RESID(-11)

-0.067815

0.106266

-0.638164

0.5251

RESID(-12)

-0.046712

0.106379

-0.439106

0.6617


RESID(-13)

-0.071467

0.106460

-0.671299

0.5038

R-squared

0.075669

Mean dependent var

0.000352

Adjusted R-squared

-0.064056

S.D. dependent var

0.043624

S.E. of regression

0.044999

Akaike info criterion

-3.235171

Sum squared resid

0.174143

Schwarz criterion

-2.870447

Log likelihood

175.7585

Durbin-Watson stat

2.060491



График 2: Тест Харке-Бера для остатков модели 2






Темы эссе

1.  Анализ мощности теста Дикки-Фуллера

2. Анализ мощности теста KPSS.

3. Проблема кажущейся регрессии и коинтеграция


Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

  1. Понятие слабо стационарного случайного процесса. Характеристики случайных процессов (математическое ожидание, дисперсия, автоковариационная и автокорреляционная функции). Теорема Вольда. Оператор лага. Примеры


  2. Модели скользящего среднего MA(q). Условие обратимости. Примеры.

  3. Модели авторегрессии AR(p). Уравнения Юла-Уокера. Разностные уравнения. Условие стационарности. Примеры.

  4. Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p,q). Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции. Примеры.

  5. Оценивание коэффициентов авторегрессионных моделей. Оценивание коэффициентов моделей скользящего среднего методами наибольшего правдоподобия и поиска на сетке. Пример: процесс МА(1).

  6. Оценивание коэффициентов процессов ARMA (р). Пример: процесс ARMA(1, 1).

  7. Качество подгонки моделей временных рядов. Информационные критерие Акаике (AIC) и Шварца (BIC). "Портмонто"-статистика. Подход Бокса-Дженкинса к идентификации моделей стационарных временных рядов.

  8. Прогнозирование в модели Бокса-Дженкинса. Тренд и сезонность в модели Бокса-Дженкинса. Коэффициент множественной детерминации в моделях временных рядов.

  9. Нестационарные временные ряды. Случайное блуждание. Ряды с нестационарной дисперсией.

  10. Нестационарное среднее. Процессы, приводимые к стационарным, выделением тренда (TSP) и взятием последовательных разностей (DSP).

  11. Модели АRIМА (р,1, q). Подход Бокса-Дженкинса к определению степени интеграции временного ряда.

  12. Кажущиеся тренды и регрессионные зависимости.

  13. Тест Дикки-Фуллера на наличие единичных корней.

  14. Мощность теста Дикки-Фуллера и выбор альтернативной гипотезы.

  15. ADF тест и выбор числа лагов.

  16. Непараметрический тест Филлипса и Перрона.

  17. Альтернативные тесты на единичные корни. Тест КПСС.

  18. Тесты на единичные корни со структурными сдвигами. Тест Перрона (с экзогенным структурным сдвигом).
  19. Тест Эндрюса-Живота (с эндогенным структурным сдвигом). Тесты на единичные корни со множественными структурными сдвигами.


  20. Методика исследования типа нестационарности временного ряда TS или DS. Использование специализированного компьютерного пакета Eviews.

  21. Регрессионные динамические модели. Авторегрессионые модели с распределенными лагами (ADL).

  22. Понятие экзогенности. Слабая, сильная и супер-экзогенность переменных. Причинность по Грэнджеру (Granger causality).

  23. Коинтеграция временных рядов. Векторная авторегрессия (VAR(p)) и коинтеграция.

  24. Коинтеграция и модель коррекции ошибками (Error Correction Model).

  25. Многомерные временные ряды. Структурная и приведенная формы многомерных моделей. Модели векторной авторегрессии (VAR). Стационарность VAR-моделей. Оценивание коэффициентов VAR моделей.

  26. Коинтеграция временных рядов. Коинтеграционная регрессия. Тестирование коинтеграции. Тест Йохансена


Автор программы ________________\ Канторович Г.Г.