shkolaput.ru 1

УДК 514.765.1

инвариантные аффинные связности на римановых однородных пространствах
Н.П. Можей, канд. физ.-мат. наук, доцент,

ИНО БГУ
Пусть M – дифференцируемое многообразие размерности 3, на котором транзитивно действует группа , (M, ) – однородное пространство, G =  стабилизатор произвольной точки xM. Проблема классификации однородных пространств (M, ) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли (, G), где G. Пусть – алгебра Ли группы Ли , а g – подалгебра, соответствующая подгруппе G. Тогда многообразие M может быть отождествлено с многообразием левых смежных классов /G. Точка x при этом отождествляется со смежным классом а – с факторпространством /g (см., например, [1]). Изучая однородные пространства важно рассматривать не саму группу а ее образ в Diff(M), другими словами, достаточно рассматривать только эффективные действия группы на многообразии M. В терминологии алгебр Ли условие эффективности эквивалентно следующему: назовем пару ( g) эффективной, если подалгебра g не содержит ненулевых идеалов алгебры Ли Строение пар групп Ли (, G), соответствующих данной эффективной паре алгебр Ли ( g), было описано в [2]. Поэтому проблема классификации однородных пространств сводится к классификации пар. В дальнейшем будем предполагать, что – связная подгруппа, что всегда можно сделать, ограничиваясь локальной точкой зрения, следовательно можно заменить требование -инвариантности на инвариантность относительно соответствующих действий алгебры Ли g. Отображение

ρ: gl(/g), x ad|x
называется изотропным представлением подалгебры g. Пара ( g) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры g. С геометрической точки зрения это означает, что естественное действие для произвольной точки xM на имеет нулевое ядро.

Риманово однородное пространство задается тройкой (, M, ρ), где - связная группа Ли, M является связным гладким многообразием с транзитивным действием , а ρ - инвариантная риманова метрика на M. Инвариантные римановы метрики ρ на M находятся во взаимно-однозначном соответствии с инвариантными симметрическими невырожденными билинейными формами B на G-модуле /g, т.е. риманово однородное пространство (, M, ρ) описывается тройкой (, g, B) , где (, g) - эффективная пара алгебр Ли, а B - инвариантная симметричная невырожденная билинейная форма на g модуле /g. Существует единственное (с точностью до эквивалентности) риманово однородное пространство (, M, ρ), соответствующее (, g, B) такое, что M односвязно и G связна. Будем называть тройку (, g, B) локально римановым однородным пространством.


Поскольку каждая инвариантная риманова метрика определяет инвариантную аффинную связность, g-модуль /g точен. Для нахождения всех изотропно-точных пар нужно классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули U (это эквивалентно классификации всех подалгебр в gl(3, R) с точностью до сопряженности), а далее классифицировать (с точностью до эквивалентности) все пары (, g) такие, что g-модули /g и U эквивалентны. Ограничимся случаем с ненулевым стабилизатором, т.к. все остальные римановы однородные пространства - только трехмерные группы Ли с инвариантной метрикой.

Билинейная форма B является инвариантной на g-модуле /g. Выберем пары, допускающие риманову метрику. Далее опишем все такие формы B с точностью до индуцированного действия Aut(, g). Получим:





Таблица умножения

B




1.3.1




e1

u1


u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

0

0

u2

-u1

0

0

0

u3

0

0

0

0




ε1

0

0

0

ε1

0

0

0

ε2




ε1, ε2=±1

1.3.2


e1


u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

0

u1

u2

-u1

0

0

u2

u3

0

-u1

-u2

0




ε

0

0

0

ε

0

0

0

a




ε=±1, a≠0

1.3.3




e1

u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

e1+u3

0

u2

-u1

-e1-u3

0

0

u3

0

0

0

0




a

0

0

0

a

0

0

0

b




ab≠0

1.3.4




e1

u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

-e1+u3

0

u2

-u1

e1-u3

0

0

u3

0

0

0

0




a

0

0

0

a

0

0

0

b




ab≠0

1.3.5




e1

u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

e1

0

u2

-u1

-e1

0

0

u3

0

0

0

0




a

0

0

0

a

0

0

0

±1




a≠0

1.3.6




e1

u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

-e1

0

u2

-u1

e1

0

0

u3

0

0

0

0




a

0

0

0

a

0

0

0

±1




a≠0

1.3.7




e1

u1

u2

u3

e1

0

-u2

u1

0

u1

u2

0

u3

0

u2

-u1

-u3

0

0

u3

0

0

0

0




ε

0

0

0

ε

0

0

0

a




ε=±1, a≠0

3.5.1




e1

e2

e3

u1

u2

u3

e1

0

e3

-e2

-u3

0

u1

e2

-e3

0

e1

-u2

u1

0

e3

e2

-e1

0

0

-u3

u2

u1

u3

u2

0

0

0

0

u2

0

-u1

u3

0

0


0

u3

-u1

0

-u2

0

0

0




1

0

0

0

1

0

0

0

1




±

3.5.2




e1

e2

e3

u1

u2

u3

e1

0

e3

-e2

-u3

0

u1

e2


-e3

0

e1

-u2

u1

0

e3

e2

-e1

0

0

-u3

u2

u1

u3

u2

0

0

e2

e1

u2

0

-u1

u3

-e2

0

e3

u3

-u1

0

-u2

-e1

-e3

0




a

0

0

0


a

0

0

0

a




a≠0

3.5.3




e1

e2

e3

u1

u2

u3

e1

0

e3

-e2

-u3

0

u1

e2

-e3

0

e1

-u2

u1

0

e3

e2

-e1

0

0

-u3

u2


u1

u3

u2

0

0

-e2

-e1

u2

0

-u1

u3

e2

0

-e3

u3

-u1

0

-u2

e1

e3

0




a

0

0

0

a

0

0

0

a




a≠0


Здесь ei - базис g, ui – дополнительный к g в (i=1, 2, 3).

Из трехмерных римановых однородных пространств следующие 7 соответствуют классификации Терстона:


- если стабилизаторы точек пространства трехмерны, то тройка 3.5.1. задает евклидово пространство, 3.5.2. --- сферу, а 3.5.3. --- гиперболическое пространство;

- если стабилизаторы одномерны, то M - -инвариантное расслоение над одной из двумерных геометрий. На M есть -инвариантная метрика, определяющая связность. При нулевой кривизне связности тройка 1.3.5. задает S2×E1 , 1.3.6. задает H2×E1 , а при ненулевой кривизне тройка 1.3.3. задает SL(2, R), 1.3.7. задает нильгеометрию.

Тройки 1.3.1, 1.3.2, 1.3.4 – подалгебры в 3.5.1, 3.5.2 и 3.5.3 соответственно и задают те же однородные пространства.

Для указанных однородных пространств находим инвариантные аффинные связности. Аффинной связностью на паре (, g) называется такое отображение где что его ограничение на g есть изотропное представление подалгебры, а все отображение является g-инвариантным. Хорошо известно (см., например, [3]), что инвариантные аффинные связности на однородном пространстве (M, ) находятся во взаимно однозначном соответствии с аффинными связностями на паре (, g). Поскольку тензоры кривизны и кручения инвариантны относительно действия группы Ли G, то они однозначно определяются тензорами на касательном пространстве к многообразию, причем эти тензоры инвариантны относительно изотропного действия. Тензоры кручения и кривизны для всех имеют вид

, .
Для каждого из указанных выше однородных пространств найдены инвариантные аффинные связности, тензоры кривизны и кручения, а также определено, при каких условиях связность будет являться естественной связностью без кручения и при каких условиях риманова связность совпадает с естественной связностью без кручения, а соответствующее пространство является естественно-редуктивным (геодезически орбитальным).
Список литературы:
1. Онищик, А. Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований / А. Л. Онищик – М.: Физ. - мат. лит., 1995. – 344 с.

2. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу – М.:Наука, 1981. – 344 с.

3. Nomizu, K. Invariant affine connections on homogeneous spaces / K. Nomizu // Amer. Journ. Math – 1954. – Vol. 76., № 1. – P. 33–65.