shkolaput.ru 1

Алексей,


пусть функция имеет период и допускает разложение в ряд Фурье . Воспользуемся подстановкой . Нетрудно увидеть, что и . Так как функция линейна, то она взаимно однозначно отображает отрезок в отрезок . Период функции вычисляется по хорошо известной из школьной программы формуле: , то есть . Ряд Фурье этой функции приобретает теперь вид

.

Но



Точно так же получаем, что


Введя обозначения и , мы сможем записать ряд Фурье в виде . Соответственно имеем




Так как , то



Точно так же



Нетрудно увидеть, что




Теперь перейдем к Вашему заданию. Дана функция на интервале , продолжающаяся на всю прямую по периодичности. Так как она сама и любая ее производная непрерывны в каждой точке интервала , то функцию можно разложить в ряд Фурье  более того, в любой точке в силу непрерывности функции ряд Фурье этой функции сходится к значению функции в этой точке, а в точках разрыва ряд Фурье сходится к числу . При этом



Интегрируя по частям, я получил формулу



Следовательно,

.

И т. д.


С наилучшими пожеланиями,

Илья Шилин