shkolaput.ru 1

На правах рукописи

Галимов Артур Нилович
СПЕКТР И РАССЕЯНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
01.01.01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учјной степени
кандидата физико-математических наук
Уфа - 2008


Работа выполнена на кафедре математического анализа
ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"
Научный руководитель
 доктор физико-математических наук,
профессор Муртазин Хайрулла
Хабибуллович
Официальные оппоненты  доктор физико-математических наук,
профессор Голичев Иосиф Иосифович
 доктор физико-математических наук,
профессор Хабибуллин Булат Нурмиевич
Ведущая организация
 Физико-технический институт
Уральского отделения РАН
(ФТИ УрО РАН)
Защита диссертации состоится "28" ноября 2008 г. в 16 ч. 00 м. на засе-
дании диссертационного совета Д002.057.01 при Институте математики с ВЦ
Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышев-
ского, 112.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики
с ВЦ УНЦ РАН.
Автореферат разослан " " октября 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
кандидат физ. -мат. наук
Попенов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Результаты, полученные в области спектральной те-
ории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения
при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах кван-
товой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используе-
мые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о
свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального
параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.
Известно, что при a(x) ? 0, т.е. отсутствии магнитного потенциала, опе-

ратор H хорошо изучен и уравнением Липпмана-Швингера называется инте-

гральное уравнение
1
ei?|x?y|
?(x, ?, ?) +
V (y)?(y, ?, ?)dy = ei? x,? ,
(1)
4?
|x ? y|
R3
где ?  вещественный параметр, ? ? S2. Первые результаты о разложениях
по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенци-
алом получил А.Я. Повзнер в работе1, связь этих разложений с теорией рассе-
яния установлена им же в работе2. В дальнейшем этой теме было посвящено
большое количество работ Т.Икэбе, Л.Д. Фаддеева, Д.М. Эйдуса, C.Куроды
и других авторов. Итоги этих исследований подведены в книге3. В частности,
в этой книге изучается условие Рольника:
|x ? y|?2V (x)V (y) ? L( 6
3
R ), V ? L(R ).
(2)
Введем однородное уравнение
f + K(?)f = 0,
(3)
где K(?) - интегральный оператор с ядром
ei?|x?y|
K(x, y, ?) =
V (x)
4?|x ? y|
уравнения (1). Изучение особенностей по параметру ? решения ?(x, ?, ?)
уравнения (1) сводится к исследованию множества E тех ?, при которых одно-
родное уравнение (3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое
поведение самих решений f(x). В теореме ХI.41 из работы3 было доказано, что
в классе вещественных потенциалов (2) множество E ограничено, замкнуто и
имеет лебегову меру нуль.
1Повзнер А.Я. О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора ? +c.-
Матем. cб., 1957, Т.32, ќI, C. 109-156.
2Повзнер А.Я. О разложениях по собственным функциям, являющихся решениями задачи рассеяния.
- ДАН СССР, 1955, Т.104, C. 360-363.
3М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 3 Теория рассеяния. М., 1982.
443 C.
3


Далее, в работе4 (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов
Рольника (2) множество E, на самом деле, конечно и если ? ? E \ {0}, то
?2 - собственное значение оператора Шредингера конечной кратности. Кроме

того, в той же работе (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов

установлено, что при каждом ? > 0 для ? ? R имеет место неравенство
sup
|V (x)||?(x, ?, ?)|2dx < ?,
|?|>?, ??E
R3
где ? ? S2.
Цель работы.
1) Получить интегральное уравнение теории возмущений при наличии маг-
нитного поля;
2) исследовать множество E особенностей при наличии магнитного потен-
циала;
3) изучить поведение решения ?(x, ?, ?) по параметру ? в окрестности ве-
щественной ненулевой особенности;
4) изучить свойства резольвенты и разложения по собственным функциям.
Научная новизна.
1) Существенно развиты методы теории возмущений для уравнения Липп-
мана - Швингера с магнитным потенциалом.
2) Найден метод регуляризации однородного интегрального уравнения
Липпмана - Швингера для случая a(x) = 0.
3) Найдена техника доказательства отсутствия ненулевых особенностей ре-
шения задачи теории рассеяния.
Методика исследования. Методы теории возмущений линейных опера-
торов, комплексного анализа и теории специальных функций математической
физики.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации
могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, в ядерной
физике, квантовой механике и квантовой химии.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на Междуна-
родной Уфимской зимней школе конференции по математики и физике для
студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005); Международной на-
учной конференции "Студент и научно-технический прогресс. Математика".
(Новосибирск, 2006); Региональной школе - конференции для студентов, ас-
пирантов и молодых ученых по математике, физики и химии (Уфа, 2006);
Лобачевские чтения (Казань, 2006); Международной научной конференции
студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". (Москва, 2007); в
Башкирском государственном университете - на научных семинарах под ру-
ководством проф. Х.Х. Муртазина и Я.Т. Султанаева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ. Список публи-

каций приводится в конце автореферата.
4Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. Изд-
во МГУ, 1988, 229 C.
4


Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
двух глав и списка литературы. Диссертация изложена на 74 страницах. Спи-
сок литературы насчитывает 37 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе изучается оператор Шредингера в пространстве L2( 3
R )
3
H(a, V ) =
(pk + ak)2 + V (x),
k=1
где pk = i?1?/?xk, a(x) = (a1(x), a2(x), a3(x)) и V (x) - соответственно маг-
нитный и электрический потенциалы, причем ak(x) (k = 1, 3) и V (x) - веще-
ственные функции, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) |?(x)| ? L( 3
3
R ), |a(x)| ? L(R ), где ?(x) = a2(x) + V (x) + idiv a(x),
3
a2(x) =
a2(x);
k
k=1
(ii) для всех ? > 0 функции
f?(x) =
|?(y)||x ? y|?1dy,
|x?y|??
g?(x) =
|a(y)||x ? y|?2dy
|x?y|??
ограничены в 3
R , причем
lim f?(x) = lim g?(x) = 0
?
0
?
0
равномерно в 3
R ;
(iii)
lim sup
|x ? y|?2(|a(y)| + |?(y)|)dy = 0.
?
0 x?R3|x?y|??
В §1 исследуется интегральное уравнение теории возмущений.
Если выполнено условие (i), то оператор H = H(a, V ) записывается в виде
суммы H = H? + W , где H? = ? ,
3
3
W = 2
pkak + ? = 2
akpk + ?.
(4)
k=1
k=1
Хорошо известно, что если ak(x) (k = 1, 3) и V (x) достаточно гладкие огра-
ниченные функции, то операторы H
3
? и H самосопряжены в L2(R ) с об-
щей областью определения W 2( 3), а для резольвент R
2 R
?(z) = (H? ? z)?1
и R(z) = (H ? z)?1 при Imz = 0 справедливо уравнение
R(z) + R?(z)W R(z) = R?(z),
(5)
5

которое принято называть уравнением теории возмущений. Если выполнены

условия (i)?(ii), то оператор H определяется в смысле квадратичных форм.5

Пусть h(x) пробегает множество C?( 3). Положим
0
R
u(x, ?) = (R(?2) h)(x), u?(x, ?) = (R?(?2) h)(x),
(6)
считая, что в (5) z = ?2, Im? ? 0. Учитывая, что при всех k = 1, 3 операторы
pk перестановочны с R?(z) (во всяком случае при Im? = 0) и пользуясь тем,
что R?(?2) есть интегральный оператор с ядром
G?(x, y, ?) = (4?|x ? y|)?1ei?|x?y|,
согласно (5)-(6), для u(?) = u(x, ?) получим неоднородное уравнение
u(?) + K(?)u(?) = u?(?),
(7)
где u?(?) = u?(x, ?), K(?) есть интегральный оператор c ядром
n
?
K(x, y, ?) = G?(x, y, ?)?(y) + 2i?1
G?(x, y, ?)ak(y) =
?xk
k=1
(4?|x ? y|)?1ei?|x?y|[?(y) + 2(?|x ? y|?1 + i|x ? y|?2)Ч
Ч x ? y, a(y) ],
(8)
где x ? y, a(y) - скалярное произведение в 3
R , ?(x) = a2(x)+V (x)+idiv a(x),
3
a2(x) =
a2(x).
k
k=1
Основным результатом этого параграфа является
Л е м м а 1.1. Если выполнены условия (i) ? (ii), то оператор K(?)
компактен в C( 3
R ) для всех ?, Im? ? 0, непрерывен по ? в равномерной
операторной топологии и аналитичен по ? в полуплоскости Im? > 0 в той же
топологии.
Лемма 1.1. позволяет к неоднородному уравнению (7) применить теорию
Фредгольма, согласно которой уравнение (7) при Im? ? 0 имеет единствен-
ное решение в C( 3
R ), если в этом пространстве соответствующее однородное
уравнение
f + K(?)f = 0,
(9)
имеет только нулевое решение. Поэтому возникает задача изучения множе-
ства E тех точек ? из полуплоскости Im? ? 0, для которых однородное
уравнение (9) имеет нетривиальное решение в C( 3
R ). Ниже будут изучены
подмножества множества E, определяемые условиями
E1 = E ? {?|Im? > 0}, E2 = E\E1\{0}.
5Цикон Х., Фрезе Р., Кирхи В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями в квантовой меха-
нике и глобальной геометрии. М., 1990, с.11.
6


В §2 исследуются множества E1. Основные результатами §2 являются сле-

дующие утверждения:
Л е м м а 2.3. Пусть выполнены условия (i) ? (ii). Тогда если ? ? E1, то
? = i?, ? > 0, а решение f (x) уравнения (9) принадлежит W 2( 3) и допускает
1 R
оценку
sup (1 + |x|)e?|x||f (x)| < ?.
x?R3
При этом ?2 = ??2 есть собственное значение оператора H конечной кратно-
сти.
Л е м м а 2.4. Пусть выполнены условия (i) ? (ii) и дополнительно из-
вестно, что
a2(y)
lim sup
dy = 0.
?
0
x
|x ? y|
|x?y|??
Тогда множество E1 ограничено.
Т е о р е м а 2.1. Пусть выполнены условия (i) ? (ii). Тогда множество
E1 не имеет конечных предельных точек. Если же дополнительно выполнены
условия леммы 2.4, то E1 состоит из конечного числа точек.
В §3 изучаются множества E2. Основным результатом §3 является следую-
щее утверждение:
Т е о р е м а 3.1. Пусть выполнены условия (i) ? (ii). Тогда множество
E2 не имеет конечных предельных точек. При этом, если ? ? E2, то ?2 есть
собственное значение оператора H конечной кратности, а соответствующая
собственная функция f(x) удовлетворяет оценке
sup (1 + |x|)2|f (x)| < ?.
x?R3
Следуя (1) и (7), обозначим ?(x, ?, ?) решение уравнения Липпмана -
Швингера
?(x, ?, ?) +
K(x, y, ?)?(y, ?, ?)dy = ei? x,? ,
(10)
R3
где ? ? S2, ? ? R, а ядро K(x, y, ?) задано равенством (8).
В главе II изучаются свойства решения уравнения Липпмана - Швингера
(10) и разложения по собственным функциям.
В §4 доказывается отсутствие ненулевых вещественных особенностей реше-
ния уравнения Липпмана - Швингера (10).
Основной результат §4 сформулирован в следующей теореме:
Т е о р е м а 4.1. Пусть выполнены условия (i) - (ii) и дополнительно
известно, что при некотором ? > 0
a2(x)(1 + |x|)3+?dx < ?,
R3
7


и ?? = 0, ?? ? E2. Тогда существует предел
?(x, ??, ?) = lim ?(x, ?, ?),
????

равномерный по x ? 3

R и ? ? S2.
В §5 изучается вопрос об аналитическом продолжении функции ?(x, ?, ?)
по параметру ? в верхнюю полуплоскость Im? ? 0.
Основной результат §5 состоит в следующем:
Т е о р е м а 5.1. Пусть потенциалы удовлетворяют условиям (i) ?
(iii). Тогда решение задачи теории рассеяния ?(x, ?, ?) представляется в ви-
де ?(x, ?, ?) = ei? x,? ?(x, ?, ?), где функция ?(x, ?, ?) для всех ? ? {0} ? E1
и для всех ? ? S2 принадлежит классу C(1)( 3
R ), непрерывна по ? по нор-
ме пространства C(1)( 3
R ), аналитична по всем ?, Im? > 0, ? ? {0} ? E1 и
непрерывна вплоть до вещественной прямой по норме пространства C(1)( 3
R ).
Кроме того, в точках ? ? E1 ?(x, ?, ?) имеет простые полюсы.
В §6 изучены свойства резольвенты, и разложение по собственным функ-
циям для оператора Шредингера в магнитном поле.
Здесь предполагается, что потенциалы удовлетворяют условиям (i) и (iii).
Согласно доказанным в §§2 ? 3, оператор H = H? + W имеет конечное чис-
ло отрицательных собственных чисел. Пусть H имеет m отрицательных соб-
ственных чисел ?? (k = 1, m), причем ?? < ?? < . . . < ?? < 0, и P ? -
k
1
2
m
k
ортогональный проектор на собственное подпространство, соответствующее
собственному значению ??. Обозначим через ?+ положительные собственные
k
k
числа пронумерованные в порядке роста, P + - ортогональные проекторы на
k
соответствующие собственные подпространства. Отметим, что собственные
числа ?+ не имеют конечных предельных точек, но их число может быть
k
бесконечным. Тогда справедлива следующая теорема:
Т е о р е м а 6.1. Пусть h(x) ? C? 3
? (R ), тогда справедливо следующее
разложение
m
?
h(x) =
P ?h(x) +
P +h(x)+
k
k
k=1
k=1
?
1
+
?2(
h(?, ?)?(x, ?, ?)dµ(?))d?,
(12)
8?3
0
S2
где h(?, ?) =

h(y)?(y, ?, ?)dy, ?(x, ?, ?) - решение уравнения Липпмана-

R3
Швингера (10), причем правая часть (12) сходится в L2( 3
R ).
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность своему научному руководителю, д.ф. - м.н., профессору Х.Х.
Муртазину, за постановку задач и постоянное внимание к работе.
8


Публикации автора по теме диссертации
[1] А.Н. Галимов. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трех-
мерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа - кон-
ференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых уче-
ных: Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 15-16.
[2] А.Н. Галимов. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трех-
мерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа - кон-
ференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых уче-
ных: Том I - МАТЕМАТИКА. Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 133-141.
[3] Х.Х. Муртазин, А.Н. Галимов. Спектр и рассеяние для операторов Шре-
дингера с неограниченными коэффициентами. // ДАН, 2006, т. 407, ќ3, С.
313-315.
[4] А.Н. Галимов. Об отсутствие ненулевых вещественных особенностей ре-
шения задачи теории рассеяния. // Дополнительный сборник. Материалы
ХLIV международной научной конференции "Студент и научно-технический
прогресс". Математика. - Новосибирск, 2006. С. 10-11.
[5] А.Н. Галимов. О задаче рассеяния в магнитном поле. // VI региональ-
ная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по
математике, физики и химии. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ, 2006, С. 16-17.
[6] А.Н. Галимов. Задача рассеяния для оператора Шредингера в магнитном
поле. // VI региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и
молодых ученых по математике, физики и химии. Сборник трудов. Том II.
Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006, С. 15-20.
[7] А.Н. Галимов. Задача рассеяния для оператора Шредингера. // Тру-

ды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские

чтения - 2006. Казань, 2006, С. 45-47.
[8] А.Н. Галимов. О конечности точечного спектра возмущенного бигармо-
нического оператора. Материалы ХLV международной научной студенческой
конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. - Но-
восибирск, 2007. С. 34-35.
[9] А. Н. Галимов. О полноте волновых операторов для оператора Шредин-
гера. Материалы докладов XIV Международной научной конференции сту-
дентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том. II. Москва, 2007, С.
86.[10] А.Н. Галимов. Х.Х. Муртазин. О полноте волновых операторов для
оператора Шрјдингера. Вестник Башкирского университета, 2007, т. 12, ќ2,
С. 3-4.
[11] А.Н. Галимов. Об особенностях решения задачи рассеяния в магнитном
поле. Уфимская международная математическая конференция посв. памяти
А.Ф.Леонтьева. Сборник материалов. Т.1. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2007. С.
60-61.
[12] А.Н. Галимов. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей ре-
шения задачи теории рассеяния. Международная конференция, посвященная
памяти И.Г.Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара имени
Петровского): тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ. 2007. -95 С.
[13] Х.Х. Муртазин, А.Н. Галимов. Спектр и рассеяние для оператора Шре-
дингера в магнитном поле. // Мат. заметки, 2008, т.83, ќ3, С. 402-416.
9