shkolaput.ru 1 2 ... 9 10
На правах рукописи

Коробков Михаил Вячеславович
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЖЕСТКОСТИ
В АНАЛИЗЕ И ГЕОМЕТРИИ
01.01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Новосибирск – 2008


Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева
Сибирского отделения Российской академии наук
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор
Копылов Анатолий Павлович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Пономарёв Станислав Петрович,
доктор физико-математических наук, профессор
Сабитов Иджад Хакович,
доктор физико-математических наук, профессор
Семёнов Владимир Иосифович
Ведущая организация:
Волгоградский государственный университет
Защита состоится
2008 г. в
на заседа-
нии диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики
им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад.
Коптюга, 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института мате-
матики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Автореферат разослан
2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Гутман А. Е.

Общая характеристика работы
Цель работы. Целью работы является получение теорем жесткости
для C1-гладких решений v : Ω ⊂ Rn → Rm дифференциальных соотно-
шений вида
Dv ∈ K
в Ω,
(1)
где K — подмножество пространства Rm×n вещественных m×n-матриц,
а символом Dv обозначена матрица дифференциала отображения v.
Также диссертация направлена на получение критерия однозначной
определенности областей в евклидовых пространствах метрикой на гра-
нице, индуцированной внутренней метрикой области.
Постановка задач и актуальность темы диссертации.
Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко слу-

жит плодотворным источником идей для современной математики, по-

рождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два
ярких примера. Согласно классической теореме Лиувилля, если f : Ω →
Rn является конформным отображением класса C3 области Ω ⊂ Rn, то f
представляет собой сужение на Ω некоторого мёбиусова преобразования.
Стремление максимально ослабить требования гладкости в этой теоре-
ме привело Ю. Г. Решетняка к следующему замечательному результату
(см. [21], [23]): всякое отображение f : Ω → Rn, принадлежащее собо-
левскому классу W 1
(Ω, Rn) и удовлетворяющее дифференциальному
n,loc
соотношению
Df (x) ∈ R+SO(n) для почти всех (п.в.) x ∈ Ω,
(2)
является либо постоянным отображением, либо сужением на Ω некото-
рого мёбиусова отображения. Здесь символом Df (x) обозначается обоб-
щенный дифференциал, а символом SO(n), как и принято, обозначает-
ся множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно
символом R+SO(n) обозначено множество матриц вида λA, где λ
0,
A ∈ SO(n).
Отметим, что условия гладкости в теореме Решетняка были еще бо-
лее ослаблены Т. Иванцом и Г. Мартином в статье [28], где они для
случая четных размерностей n = 2l доказали справедливость процити-
рованного результата в предположении f ∈ W 1 (Ω, Rn).
l,loc
Ю. Г. Решетняк получил также глубокие результаты об устойчивости
в теореме Лиувилля, более точно, об устойчивости класса конформных
3


(мёбиусовых) отображений в классе отображений с ограниченным иска-
жением [23]. Класс этих отображений, являющихся неоднолистным ана-
логом квазиконформных отображений, также был введен Ю. Г. Решет-
няком, который установил и их основные нетривиальные свойства, такие
как открытость, изолированность и т. д., см. [21]. Отображения с ограни-
ченным искажением быстро стали чрезвычайно популярным объектом
исследования не только отечественных, но и зарубежных математиков

(назвавших такие отображения квазирегулярными, см., например, моно-

графию [41]). В свою очередь, методы теории отображений с ограничен-
ным искажением нашли многочисленные приложения в геометрической
теории функций, теории нелинейных уравнений с частными производ-
ными, механике сплошной среды и пр. (см., например, монографию [29]).
В связи с вопросами устойчивости особо следует отметить многочислен-
ные работы А. П. Копылова (см., например, [13], [14]), который впер-
вые предложил общую концепцию в изучении феномена устойчивости
классов отображений, позволившую исследовать на устойчивость, по-
мимо конформных, другие интересные для анализа и приложений клас-
сы отображений (таких, как многомерные голоморфные отображения,
решения эллиптических систем д. у. с частными производными и др.).
А. П. Копыловым предложена также концепция устойчивости для клас-
сов липшицевых отображений (отправной точкой которой послужили
работы Ф. Джона [30]–[32] по устойчивости изометрий), этой теме по-
священ ряд работ его учеников (см., например, [9], [10]).
Тематика, о которой шла речь, имеет важные приложения не толь-
ко в анализе, но и в геометрии. Так, квазиконформные отображения
имеют глубокую связь с построенными Ю. Г. Решетняком изотермиче-
скими системами координат в двумерных пространствах Александрова
ограниченной кривизны [22]. Из более современных работ, связывающих
квазиконформный анализ и геометрию, отметим статью [26], посвящен-
ную квазиконформным структурам на многообразиях.
Вторым примером, когда изучение требований гладкости в класси-
ческой теореме жесткости порождает целые направления в геометрии
и в анализе, является следующая теорема: Если f : Sn → Rn+1 есть
C2-гладкое изометрическое погружение n-мерной сферы Sn, то множе-
ство f (Sn) конгруэнтно Sn. Поскольку в определении изометрическо-
го погружения участвуют лишь первые производные, естественно было

предположить, что процитированная теорема останется верной и для
C1-гладких отображений. Однако эта долго стоявшая гипотеза была
опровергнута Дж. Нэшом [39] и Н. Кейпером [36], которые доказали,
4


следующая страница >>