shkolaput.ru 1
На правах рукописи

РОМАНОВ Максим Николаевич
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ
ПРОНИЦАЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону – 2011



Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и матема-
тической физики факультета математики, механики и компьютерных наук
Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону.
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
доцент В. В. Колесов
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук
Н. В. Никитин
доктор физико-математических наук,
Е. А. Демехин
Ведущая организация:
Пермский государственный университет
Защита состоится 21 октября 2011 г. в 15 часов на заседании диссер-
тационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном универ-
ситете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы,
д. 1, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механи-
ко-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Автореферат разослан «
»
2011 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д.501.001.89,
доктор физико-математических наук
А. Н. Осипцов

1. Общая характеристика работы
В диссертации исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости
между двумя бесконечными вращающимися проницаемыми концентри-
ческими цилиндрами при наличии радиального потока жидкости, на-
правленного от одного цилиндра к другому. Рассматривается случай, ко-
гда внешние массовые силы отсутствуют и количество жидкости, поступа-
ющей в полость между цилиндрами через поверхность одного цилиндра,
равно количеству жидкости, которая отводится через поверхность другого
цилиндра.

Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче яв-

ляется двумерным: он представляет собой стационарное вращательно-сим-
метричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости.
Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, которое су-
ществует при любых значениях параметров задачи.
В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не все-
гда: при изменении параметров задачи (например, при увеличении скоро-
сти вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость
и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери
устойчивости основного стационарного течения. В результате монотонной
вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным ста-
ционарным течением, а в результате колебательной трехмерной неустой-
чивости — автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном на-
правлении волнами.
Целью данной работы является исследование режимов, которые
возникают вблизи точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих
этим двум типам потери устойчивости основного режима.
Актуальность работы. Помимо общетеоретического интереса, изу-
чение течений вязкой жидкости между вращающимися проницаемыми ци-
линдрами привлекает внимание исследователей прежде всего в связи с воз-
можностью использования его результатов в технических устройствах, со-
держащих динамические фильтры. Такие фильтры обычно состоят из вра-
щающегося пористого внутреннего цилиндра и неподвижного или тоже
вращающегося пористого внешнего цилиндра. Фильтрат обычно подает-
ся через проницаемую стенку внутреннего цилиндра и отводится через
внешний цилиндр. Такие устройства используются, например, для отделе-
ния примесей в отработанном машинном масле, для расщепления крови
и выделения из нее плазмы, для противодействия обрастанию мембран
в системах очистки питьевой воды посредством обратного осмоса, в био-
1


технологиях и т. п.

Необходимо отметить также, что рассматриваемая задача представля-

ет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря
тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости
возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации — 123 стра-
ницы, включая 59 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 161 работы.
В главе 1 исследована устойчивость основного режима движения жид-
кости в линейной постановке. Во второй главе исследована устойчивость
основного режима в нелинейной постановке. В главе 3 приведены резуль-
таты численного анализа режимов, возникающих после потери устойчиво-
сти основного стационарного течения. В заключении кратко суммирова-
ны результаты проделанной работы. В приложениях приведены таблицы
критических значений чисел Рейнольдса, графики нейтральных кривых
и рассчитанные коэффициенты амплитудной системы.
Научная новизна. В диссертации впервые подробно исследованы
вторичные стационарные, периодические и квазипериодические течения
жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами, возникаю-
щие в результате потери устойчивости основного стационарного течения.
Построены бифуркационные диаграммы, показывающие эволюцию и би-
фуркации этих режимов. Обнаружены хаотические движения жидкости,
возникающие в результате каскада удвоений периода квазипериодических
течений.
Используемый математический аппарат. Для вывода формул
коэффициентов амплитудной системы применялась теория бифуркаций
коразмерности два, развитая в работах В. И. Юдовича, Ж. Йосса и П. Шос-
са. Вторичные стационарные, периодические и квазипериодические тече-
ния жидкости найдены путем аналитического и численного анализа ком-
плексной системы амплитудных уравнений. Для расчета трехчастотных
квазипериодических течений жидкости (им соответствуют циклы мотор-

ной подсистемы) на начальном этапе применялся метод установления с по-

следующим уточнением периода течения и координат точки на течении ме-
тодом отыскания неподвижной точки эволюционного оператора или отоб-
ражения Пуанкаре. Устойчивость трехчастотных квазипериодических те-
чений и их бифуркации исследовались путем вычисления мультипликато-
ров Флоке.
Научная достоверность результатов обусловлена корректностью
2


математической постановки задачи, строгостью математических методов,
применяемых в работе. Все вычисления, выполненные в работе, проводи-
лись с контролируемой точностью.
Научная и практическая значимость работы. Полученные ре-
зультаты являются частью общего исследования задач о движениях вяз-
кой жидкости для систем с цилиндрическими симметриями. Практическая
значимость работы заключается в возможности использования результа-
тов в технических устройствах, в частности, содержащих динамические
фильтры.
Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в НИИ
механики МГУ, в Институте космических исследований РАН (г. Москва),
в Институте гидродинамики и Институте теплофизики СО РАН (г. Ново-
сибирск), в Пермском государственном университете, в Тбилисском мате-
матическом институте АН Грузии, в НИИ механики и прикладной мате-
матики (г. Ростов-на-Дону), в Южном федеральном университете.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и об-
суждались на научных семинарах кафедры вычислительной математи-
ки и математической физики ЮФУ, на семинаре по механике сплошных
сред в Институте механики МГУ (2011), на международных конференци-
ях «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбу-
лентность» (Москва, 2008, 2010) и на международных конференциях «Со-
временные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д, 2009, 2010).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опуб-
ликовано 9 печатных работ [1–9], из них 3 статьи [1–3] в изданиях, вхо-

дящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых

в Российской Федерации, утвержденных ВАК.
В совместных публикациях [1–8] постановка задачи и разработка алго-
ритмов расчета коэффициентов амплитудной системы и численного иссле-
дования устойчивости и бифуркаций решений моторной подсистемы вы-
полнена В. В. Колесовым. Реализация этих алгоритмов, проведение ком-
пьютерных вычислений, расчет нейтральных кривых и вывод формул для
расчета коэффициентов амплитудной системы выполнены автором диссер-
тации.
Представленные в диссертации исследования поддерживались гран-
тами: Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 11-
05-01138, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной
целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инноваци-
онной России» на 2009–2013 гг., гос. контракт № 14.740.11.0877.
3


2. Содержание работы
Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и обзор
современного состояния проблемы, изложена структура и основные поло-
жения диссертации.
В первой главе исследуется устойчивость основного режима движе-
ния жидкости в линейной постановке задачи.
В § 1.1 выписаны уравнения движения вязкой жидкости в цилиндри-
ческих координатах и краевые условия. Они допускают точное решение,
представляющее собой основное стационарное вращательно-симметричное
течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости V0 и давле-
ния Π0
r
v20ϕ
χ2
V
0
0 = {v0r, v0ϕ, 0},
Π0 =
+
ds + const,
s
s3
1

b
 arχ+1 +
,
χ = −2,

χ

r
0

v0r =
,
v0ϕ =
(1)
r
 a

1 ln r + 1

, χ = −2,

r
ΩR2 − 1
ΩR2 − 1
χ
a =
,
b = 1 − a,
a1 =
,
χ0 =
.
Rχ+2 − 1
ln R
λ
Здесь λ = Ω1R2/ν — число Рейнольдса, ν — коэффициент кинема-
1

тической вязкости, χ0 = S/Ω1R2 — безразмерный коэффициент, харак-

1
теризующий поток жидкости сквозь цилиндры, S — размерный коэффи-
циент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверх-
ность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилин-
дра, Ω = Ω2/Ω1 — отношение угловых скоростей вращения цилиндров,
R = R2/R1 — отношение радиусов цилиндров (R1 < R2), χ = S/ν —
радиальное число Рейнольдса. При χ > 0 радиальный поток жидкости
направлен от внутреннего цилиндра к внешнему, а при χ < 0 — наоборот.
Далее в § 1.2 приводится уравнение линий тока основного режима (1)
и дается описание его траекторий движения частиц жидкости.
Наличие даже небольшого радиального потока жидкости (χ = 0) при-
водит к тому, что радиальная компонента вектора скорости становится
ненулевой. Поэтому частицы жидкости перемещаются не только в азиму-
тальном, но и в радиальном направлении (рис. 1).
4


Ω = 0
Ω = −0.2
Рис. 1. Линии тока основного стационарного течения
при R = 2, χ = 0.05, λ = 10.
В § 1.3 сформулирована постановка задачи устойчивости. С ростом
числа Рейнольдса λ основной режим может потерять устойчивость двумя
способами. В результате его монотонной вращательно-симметричной не-
устойчивости возникает вторичное стационарное течение. Колебательная
трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегу-
щими в азимутальном направлении волнами. Соответствующие этим би-
фуркациям нейтральные кривые при определенных значениях параметров
задачи могут пересекаться.
В § 1.4 путем наложения возмущений V и Π соответственно на ком-
поненты скорости V0 и давление Π0 основного стационарного течения (1),
исходные уравнения сводятся к нелинейной задаче для возмущений
v2ϕ
1 ∂Π
1
vr
2 ∂vϕ
D1vr −
+
=
D2vr + χ

+ 2ωvϕ,
r
λ ∂r
λ
r2
r2 ∂ϕ
vrvϕ
1 ∂Π
1

2 ∂vr
D1vϕ +
+

=

D2vϕ − χ
+
+ gvr,
r
λr ∂ϕ
λ
r2
r2 ∂ϕ
1 ∂Π
1
vz
D1vz +
=
D2vz +
,
div V = 0,
(2)
λ ∂z
λ
r2
vr = vϕ = vz = 0 (r = 1, R),


χ ∂
1
D1 =
+ ω
+ (V,
),
D2 = ∆ −

,
∂t
∂ϕ
r ∂r
r2
 −a (χ + 2) rχ, χ = −2,
v


d
1

ω =
,
g = −
+
v0ϕ =
r
dr
r
a1

 −
,
χ = −2.
r2
5


Уравнения движения жидкости и основной режим симметричны от-
носительно вращений около оси цилиндров на произвольный угол, сдви-
гов вдоль этой оси на произвольное расстояние и инверсии J (зеркальной
симметрии относительно отражений в плоскости поперечного сечения ци-
линдров). Соответствующие формулы выписаны в § 1.5.
§ 1.6 посвящен численному исследованию устойчивости основного
режима относительно бесконечно малых возмущений. Приводятся ре-
зультаты расчета нейтральных кривых, соответствующих монотонной вра-
щательно-симметричной и трехмерной колебательной потере устойчиво-
сти.
Нейтральная кривая, соответствующая бифуркации возникновения
вторичного стационарного течения, находится путем решения линеаризо-
ванной задачи устойчивости, отвечающей (2), для случая, когда возмуще-
ния являются монотонными и вращательно-симметричными. После раз-
деления переменных получается вещественная спектральная задача для
определения критического значения числа Рейнольдса λ.
Для расчета нейтральной кривой, соответствующей бифуркации воз-
никновения азимутальных волн, предполагаем возмущения колебательны-
ми и трехмерными. После разделения переменных получается комплекс-
ная спектральная задача для определения критического значения числа
Рейнольдса λ и частоты нейтральной азимутальной моды c.

Спектральные задачи решались численно методом пристрелки. Ре-

зультатом данного расчета являются зависимости критических значений
числа Рейнольдса λ и частоты нейтральной колебательной моды c от отно-
шения угловых скоростей вращения цилиндров Ω.
Особое внимание уделяется отысканию точек пересечения нейтраль-
ных кривых, поскольку вблизи таких точек взаимодействие мод, соответ-
ствующих вторичному стационарному течению и азимутальным волнам,
может приводить к возникновению достаточно сложных режимов движе-
ния жидкости.
Расчеты показали, что при определенных значениях параметров за-
дачи нейтральные кривые не имеют точек пересечения, а при других зна-
чениях параметров они пересекаются в одной или нескольких точках. Гра-
фики нейтральных кривых и таблицы критических значений чисел Рей-
нольдса λ представлены в приложении 1.
Во второй главе исследуется устойчивость основного режима в не-
линейной постановке.
В § 2.1 разыскивается решение нелинейной задачи для возмущений (2)
6


в точке (Ω, λ), лежащей вблизи точки пересечения нейтральных кривых
(Ω∗, λ∗), в виде
V =
|δ1|(Φ + Φ∗),
Π =
|δ2|(p + p∗),
(3)
Φ = η0(ξ)Φ0(r, z) + eic∗t[η1(ξ)Φ1(r, ϕ, z) + η2(ξ)Φ2(r, ϕ, z)] + . . . ,
p = η0(ξ)p0(r, z) + eic∗t[η1(ξ)p1(r, ϕ, z) + η2(ξ)p2(r, ϕ, z)] + . . . .
Здесь δ1 = λ − λ∗ и δ2 = Ω − Ω∗ — малые параметры одного порядка,
η0, η1, η2 — неизвестные комплексные амплитуды — функции «медленно-
го» времени ξ = |δ1|t; c∗ — неизвестная циклическая частота, найденная
при λ = λ∗ и Ω = Ω∗; Φ0, p0 — собственное решение линеаризованной
задачи устойчивости для монотонных вращательно-симметричных возму-
щений; Φ1, p1 и Φ2, p2 — независимые собственные решения линеаризо-
ванной задачи устойчивости для колебательных трехмерных возмущений.
При этом вектор Φ2 получается инверсией J (см. § 1.5) из вектора Φ1, так
что Φ2 = JΦ1. Величины порядка δ1, δ2 и выше в (3) опущены.

Амплитуды η0, η1, η2 разложений (3) удовлетворяют следующей си-

стеме с кубическими ведущими нелинейными членами:
dη0 = (σ + A|η0|2 + B|η1|2 + B∗|η2|2)η0 + Dη∗η∗η2,

0 1
dη1 = (µ + P|η0|2 + Q|η1|2 + R|η2|2)η1 + Sη∗2η2,
(4)

0
dη2 = (µ + P|η0|2 + R|η1|2 + Q|η2|2)η2 + Sη2η1.

0
Амплитудная система (4) получена путем использования техники тео-
рии бифуркаций, связанной с применением теоремы о нейтральном мно-
гообразии. Впервые эта система была получена В. И. Юдовичем в России
и Ж. Йоссом и П. Шосса во Франции. Она является обобщением извест-
ного амплитудного уравнения Ландау.
Система (4) применима в широком классе задач о течениях жидко-
сти между вращающимися цилиндрами, обладающих группой симметрии
G (см. § 1.5), но в различных задачах значения ее коэффициентов будут
различными.
Коэффициенты системы (4) выражаются явно через решения серии
линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с переменными комплексными коэффициентами. Соответству-
ющие формулы приводятся в § 2.6.
7


В § 2.2 приводится система обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка, представляющая собой основной объект анали-
за устойчивости и бифуркаций вторичных режимов в проблеме Куэтта–
Тейлора для проницаемых цилиндров — моторная подсистема амплитуд-
ной системы.
Представление
комплексных
амплитуд
в
форме
η0 = ρ0eiψ0,
η1 = ρ1eiψ1, η2 = ρ2eiψ2 позволяет для модулей амплитуд ρ0, ρ1, ρ2 и фа-
зового инварианта β = 2ψ0 + ψ1 − ψ2 получить следующую замкнутую
систему, которая называется моторной подсистемой амплитудной системы
dρ0 = σ + Aρ2 + Br(ρ2 + ρ2) ρ0 + Dρ0ρ1ρ2 cos β,

0
1
2
dρ1 = (µr + Prρ2 + Qrρ2 + Rrρ2)ρ1 + (Sr cos β + Si sin β)ρ2ρ2,

0
1
2
0
dρ2 = (µr + Prρ2 + Rrρ2 + Qrρ2)ρ2 + (Sr cos β − Si sin β)ρ2ρ1,
(5)

0
1
2
0

dβ = C(ρ2 − ρ2) − 2Dρ1ρ2 sin β − Si(ρ2 − ρ2) cos β +


1
2
1
2
+ Sr(ρ2 + ρ2) sin β ρ2/ρ
1
2
0
1ρ2,
C = 2Bi + Qi − Ri.
Исследование моторной подсистемы (5) позволяет отыскать стацио-
нарные, периодические и квазипериодические течения. Причем стационар-
ные, периодические и двухчастотные квазипериодические режимы нахо-
дятся аналитически. Трехчастотные квазипериодические течения рассчи-
тываются численно.
§ 2.3 содержит формулы для отыскания двух стационарных течений:
основного режима и вторичного стационарного вращательно-симметрич-
ного течения. Им соответствуют равновесия моторной подсистемы, кото-
рые лежат на инвариантных плоскостях.
В § 2.4 выписаны формулы для отыскания периодических режимов
движения жидкости. Это следующие течения: чистые азимутальные вол-
ны, пара спиральных волн, смешанные азимутальные волны первого и вто-
рого родов. Периодическим течениям, также как и стационарным (§ 2.3),
соответствуют равновесия моторной подсистемы, которые лежат на инва-
риантных плоскостях.
§ 2.5 содержит формулы для отыскания квазипериодических колеба-
тельных режимов с двумя независимыми частотами. Всем таким течениям
соответствуют равновесия общего положения моторной подсистемы.
8


§ 2.6 посвящен расчету коэффициентов амплитудной системы. Для
реализации этих вычислений потребовалось рассчитать на компьютере ре-
шения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами.
Вычисления проводились для фиксированных значений следующих
трех параметров: отношения радиусов цилиндров R, аксиального и азиму-
тального волновых чисел α и m.
Результаты вычислений для случая, когда радиус внешнего цилиндра
в два раза превосходит радиус внутреннего цилиндра R = 2 и азимуталь-
ное волновое число m = 1 при различных значениях радиального числа

Рейнольдса χ и аксиального волнового числа α представлены в приложе-

нии 2.
В третьей главе приводятся результаты численного анализа режи-
мов, возникающих после потери устойчивости основного стационарного те-
чения.
В § 3.1 изучаются стационарные, периодические и двухчастотные ква-
зипериодические режимы движения жидкости, соответствующие равнове-
сиям моторной подсистемы, а также их устойчивость и бифуркации. Уста-
новлено, что при определенных значениях параметров задачи от некото-
рых равновесий ответвляются предельные циклы. Результаты вычислений
представлены бифуркационными диаграммами.
Для случая, когда радиальный поток жидкости направлен от внут-
реннего цилиндра к внешнему (χ = 0.25), возмущения являются 2π-пе-
риодическими в азимутальном направлении (α = 2), точка пересечения
нейтральных кривых расположена выше нейтральной кривой, соответству-
ющей бифуркации возникновения вторичного стационарного течения
(σ = 10), схема бифуркационных переходов представлена на рис. 2.
На схеме одинарными линиями изображены J -симметричные течения,
двойными линиями — J -связанные пары течений. Устойчивые течения на-
рисованы сплошными линиями, неустойчивые — штриховыми. Точками
обозначены бифуркации течений, соответствующих равновесиям моторной
подсистемы. Кружками отмечены точки, в которых ответвляются трехча-
стотные квазипериодические режимы движения жидкости. Им соответ-
ствуют циклы моторной подсистемы.
В рассматриваемом случае существуют следующие течения: основное
стационарное течение M F , вторичное стационарное течение SF , чистые
азимутальные волны AW , пара спиральных волн SW , смешанные ази-
мутальные волны первого рода M W +, смешанные азимутальные волны
9



второго рода M W −, а также две J -связанные пары двухчастотных квази-
периодических течений, соответствующих равновесиям общего положения
QP F1 и QP F2.

Рис. 2. Схема переходов при R = 2, χ = 0.25, m = 1, α = 2, σ = 10.

Бифуркационные значения: µ1 = 0, µ2 = 6.8648, µ3 = 6.8778, µ4 = 7.3809, µ5 = 8.4264,
r
r
r
r
r
µ6 = 8.5841, µ7 = 8.5986, µ8 = 8.8269, µ9 = 9.2312.
r
r
r
r
При µr = µ4, µ
и µ
ответвляются трехчастотные квазипе-
r
r = µ6
r
r = µ9
r
риодические течения. Им соответствуют J -симметричные циклы моторной
подсистемы (а при µr = µ4 пара циклов).
r
Таким образом, для рассматриваемых значений параметров задачи
в диапазоне µ7 < µ
нет ни одного устойчивого равновесия моторной
r
r < µ9
r
подсистемы. Это означает, что в данном интервале изменения свободного
параметра µr в экспериментах могут реализоваться достаточно сложные
режимы движения жидкости.
§ 3.2 содержит результаты расчета квазипериодических колебатель-
ных режимов движения жидкости с тремя независимыми частотами, ко-
торым соответствуют предельные циклы — изолированные периодические
решения моторной подсистемы. Обнаружены устойчивые и неустойчивые
симметричные циклы, а также инверсионно-связанные пары несиммет-
ричных циклов. Исследованы бифуркации циклов. Установлено, что при
определенных значениях параметров задачи бифуркации циклов приводят
к возникновению хаотических аттракторов. Выполнен расчет инверсионно-
связанной пары хаотических режимов движения жидкости, соответствую-
щих хаотическим аттракторам моторной подсистемы, возникающей в ре-
зультате бесконечного каскада удвоений устойчивых инверсионно-связан-
ных пар предельных циклов моторной подсистемы.
10




Однооборотные циклы. Симметричные циклы. В случае R = 2,
χ = 1, m = 1, α = 2, σ = 10 единственный устойчивый J -симметричный
предельный цикл A0 (рис. 3) ответвляется при µr = 22.3504 от смешанных

азимутальных волн второго рода M W −. Он существует для µr < 22.3504

и устойчив в интервалах 7.4303 < µr < 7.7875, 8.1833 < µr < 22.3504. При
µr = 8.1833 цикл A0 теряет устойчивость в результате бифуркации потери
симметрии: от цикла ответвляется устойчивая J -связанная пара циклов
A1± .
1
Рис. 3. Симметричный цикл A0 при µr = 12 в случае R = 2, χ = 1, m = 1,
α = 2, σ = 10. Координаты точки на цикле: ρ0 = 0.188204, ρ1 = 0.135322,
ρ2 = 0.135322, β = 3.141593. Период T = 0.367969. Устойчив.
Дальнейшее уменьшение параметра µr приводит к тому, что в точках
µr = 7.7875 и µr = 7.4303 цикл A0 претерпевает еще две бифуркации
потери симметрии, в результате которых ответвляются неустойчивые J -
связанные пары циклов A2± и A3 .
1
±1
Инверсионно-связанные пары несимметричных циклов. Устойчивая
J -связанная пара циклов A1± (рис. 4) при µ
1
r = 8.1833 ответвляется от
J -симметричного цикла A0. Она существует в интервале 8.1782 < µr <
8.1833 и устойчива всюду, где существует. В точке µr = 8.1782 пара циклов
A1± одновременно гибнет с неустойчивой J-связанной парой циклов B
1
±1,
которая существует для µr > 8.1782.
Рис. 4. Один из циклов пары циклов A1± при µ
1
r = 8.18 в случае R = 2, χ = 1, m = 1,
α = 2, σ = 10. Координаты точки на цикле: ρ0 = 0.172140, ρ1 = 0.128736,
ρ2 = 0.128743, β = 3.317110. Период T = 1.043100. Устойчив.
Удвоения циклов. Вычисления показывают, что J -связанные пары
несимметричных циклов моторной подсистемы могут претерпевать бифур-
кации удвоения периода, в том числе и неограниченные последовательно-
сти таких бифуркаций.
11





Устойчивая J -связанная пара двухоборотных предельных циклов G±2

(рис. 5) в случае R = 2, χ = −1, m = 1, α = 3, σ = 10 ответвляется при

µr = 11.9237 от J-связанной пары предельных циклов G±1. Она устойчива
в интервале 11.9237 < µr < 12.0078. В точке µr = 12.0078 претерпевает
бифуркацию удвоения периода цикла и от нее ответвляется устойчивая
J -связанная пара четырехоборотных предельных циклов G±3.
Рис. 5. Один из двухоборотных циклов J -связанной пары циклов G±2
при µr = 11.9312 в случае R = 2, χ = −1, m = 1, α = 3, σ = 10.
Координаты точки на цикле: ρ0 = 0.078606, ρ1 = 0.151073, ρ2 = 0.175375, β = 2.628381.
Период T = 0.567672. Устойчив.
Сложные режимы. Для значений параметров R = 2, χ = 0.25,
m = 1, α = 2, σ = 10 в точке µr = 8.608252 от J-симметричного цикла E0
ответвляется устойчивый двухчастотный квазипериодический режим E,
фазовые траектории которого лежат на инвариантном двумерном торе. Он
существует при µr < 8.608252. Проекции фазовых траекторий в начальной
стадии формирования (на небольшом отрезке времени) показаны на рис. 6.
Отображение Пуанкаре, соответствующее тору E, приведено на рис. 7.
Рис. 6. Устойчивый двумерный тор E с вращением при µr = 8.603 в случае R = 2,
χ = 0.25, m = 1, α = 2, σ = 10. Координаты точки на торе: ρ0 = 0.140548,
ρ1 = 0.037003, ρ2 = 0.037003, β = 138.23.
Рис. 7. Отображение Пуанкаре двумерного тора E с вращением при µr = 8.603
в случае R = 2, χ = 0.25, m = 1, α = 2, σ = 10.
12


Таким образом, для данных значений параметров задачи в зазоре
между двумя цилиндрами могут наблюдаться течения жидкости, имею-
щие сложную структуру.
Расчеты стохастических решений моторной подсистемы проводились
методом установления — путем прямого численного интегрирования систе-
мы (5) методом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-го порядка точности с автома-
тическим выбором шага интегрирования. Результаты вычислений выводи-
лись на экран дисплея в виде проекций фазовых траекторий на координат-

ные плоскости и образов отображения Пуанкаре. При построении отобра-

жения Пуанкаре секущая плоскость автоматически выбиралась трансвер-
сальной к траекториям системы (5) в некоторый фиксированный момент
времени.
Для случая R = 2, χ = −1, m = 1, α = 3, σ = 10 рассчитаны J -свя-
занные пары устойчивых предельных циклов G±n, претерпевающих при
увеличении µr бифуркации удвоения периода. Всего удалось проследить 5
таких последовательных бифуркаций. Соответствующие им критические
значения µn параметра µ
r
r представлены в таблице.
Критические значения µr для бифуркаций удвоения циклов G±n
при R = 2, χ = −1, m = 1, α = 3, σ = 10.
n
µn
δn = (µn − µn−1)/(µn+1 − µn)
r
r
r
r
r
1
11.923661
2
12.007761
5.0678
3
12.024356
4.6733
4
12.027907
4.6724
5
12.028667
Согласно закону универсальности Фейгенбаума, при неограниченной
последовательности бифуркаций удвоения устойчивых циклов, приводя-
щей к возникновению хаотического аттрактора, последовательность отно-
шений
δn = (µn − µn−1)/(µn+1 − µn) → δ∗ ≈ 4.6692,
когда
n → ∞.
r
r
r
r
Значения δn, представленные в таблице, с удовлетворительной точно-
стью соответствуют закону универсальности Фейгенбаума. Это позволяет
предположить, что µn → µ∗ ≈ 12.028875, когда n → ∞, и при µ
r
r
r = µ∗
r
в результате каскада бифуркаций удвоения J -связанных пар циклов G±n
13



возникает J -связанная пара хаотических аттракторов G±, которая суще-
ствует при µr
µ∗.
r
Вычисления данное предположение подтверждают. Проекции фазо-
вой траектории одного из аттракторов J -связанной пары G± на коорди-
натные плоскости показаны на рис. 8.
Рис. 8. Один из аттракторов J -связанной пары хаотических аттракторов G±

при µr = 12.05 в случае R = 2, χ = −1, m = 1, α = 3, σ = 10. Координаты

точки на аттракторе: ρ0 = 0.090088, ρ1 = 0.100506, ρ2 = 0.252663, β = 1.729146.
Таким образом, вычисления показали, что при продолжении решений
моторной подсистемы по параметру наблюдаются следующие типы бифур-
каций:
— ответвление симметричного цикла от симметричного равновесия
моторной подсистемы в результате колебательной потери устойчивости
равновесия;
— ответвление J -связанной пары несимметричных циклов от J -свя-
занной пары несимметричных равновесий в результате колебательной по-
тери устойчивости пары равновесий;
— ответвление одной J -связанной пары несимметричных циклов от
другой в результате бифуркации удвоения пары циклов;
— ответвление J -связанной пары несимметричных циклов от симмет-
ричного цикла в результате бифуркации потери симметрии цикла;
— одновременное возникновение (или исчезновение) двух симметрич-
ных циклов «из воздуха»;
— одновременное возникновение (или исчезновение) двух J -связанных
пар несимметричных циклов «из воздуха»;
— ответвление симметричного двумерного тора от J -симметричного
цикла;
— возникновение J -связанной пары несимметричных хаотических ат-
тракторов в результате бесконечного каскада удвоений J -связанной пары
несимметричных циклов.
В заключении к диссертации подведены итоги работы и сформули-
рованы основные результаты и выводы.
14


3. Основные результаты и выводы
В работе исследованы различные режимы движения вязкой несжи-
маемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными концентрическими
вращающимися проницаемыми цилиндрами в случае, когда имеется при-
ток жидкости через поверхность одного цилиндра и отток через поверх-
ность другого. Основной режим движения жидкости в рассматриваемой
задаче представляет собой стационарное вращательно-симметричное те-
чение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Это течение

может потерять устойчивость двумя способами. В результате монотонной

вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным ста-
ционарным течением, а в случае колебательной трехмерной неустойчиво-
сти — вторичным автоколебательным режимом типа бегущих азимуталь-
ных волн. Вблизи пересечения этих двух бифуркаций существует множе-
ство различных вторичных режимов, возникающих благодаря нелинейно-
му взаимодействию монотонной вращательно-симметричной и колебатель-
ных трехмерных мод.
Исследование линеаризованной задачи устойчивости показало,что ко-
гда цилиндры вращаются в разные стороны и модуль отношения угловых
скоростей достаточно велик, рост скорости втекания жидкости через по-
верхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, при-
чем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше величина отноше-
ния угловых скоростей вращения цилиндров. Если же цилиндры вращают-
ся в одинаковых направлениях либо модуль отношения угловых скоростей
вращения цилиндров имеет небольшие значения, то ситуация усложняется.
В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости
втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилин-
дров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее
воздействие на основной режим.
Исследование моторной подсистемы позволило найти следующие вто-
ричные течения жидкости: вторичное стационарное течение, пара спираль-
ных волн, чистые азимутальные волны, смешанные азимутальные волны
первого и второго родов, а также двухчастотные и трехчастотные квазипе-
риодические движения жидкости. Эти режимы при различных значениях
параметров оказываются как устойчивыми, так и не устойчивыми. С по-
мощью численного анализа их бифуркаций удалось отыскать ряд режимов
имеющих существенно более сложную природу, в том числе и хаотические
движения.
15


Основные научные результаты, представленные в диссертации:

1. В широком диапазоне изменений параметров задачи рассчитаны

нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симмет-
ричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режи-
ма, а также точки их пересечения.
2. Исследовано влияние направления и интенсивности радиального
потока жидкости на устойчивость основного стационарного движения
жидкости.
3. Путем применения теории бифуркаций коразмерности два получе-
ны формулы для коэффициентов амплитудной системы трех комплексных
дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими
нелинейными членами. Данная система описывает различные движения
жидкости, существующие вблизи пересечения бифуркаций возникновения
вторичного стационарного течения и автоколебаний с бегущими в азиму-
тальном направлении волнами. Коэффициенты этой системы рассчитаны
на компьютере путем решения серии линейных краевых задач.
4. Путем аналитического и численного анализа амплитудной системы
найдены стационарные, периодические и квазипериодические колебатель-
ные течения жидкости с двумя и тремя независимыми частотами. Иссле-
дованы их устойчивость и бифуркации.
5.
Обнаружено,
что
при
определенных
значениях
параметров
задачи образуются режимы движения жидкости, имеющие достаточ-
но сложную природу. В частности, в результате последовательного удво-
ения инверсионно-связанной пары несимметричных циклов возникают сто-
хастические
аттракторы
амплитудной
системы,
которым
соответ-
ствуют хаотические режимы движения жидкости.
Публикации по теме диссертации
1. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет стационарных, перио-
дических и квазипериодических движений вязкой жидкости
между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами //
Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 6. С. 53–62.
2. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет бикритических точек
в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между

двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изве-

16


стия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки.
2009. № 5. С. 28–30.
3. Колесов В. В., Романов М. Н. Пересечение бифуркаций воз-
никновения вихрей Тейлора и азимутальных волн между вра-
щающимися проницаемыми цилиндрами// Известия вузов.
Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. С. 112–
114.
4. Колесов В.В., Романов М.Н. Монотонная и колебательная неустойчи-
вость основного режима движения жидкости между двумя вращаю-
щимися проницаемыми цилиндрами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2010.
№ 483-В2010. 27 с.
5. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет вторичных течений вязкой жид-
кости, возникающих вблизи пересечения бифуркаций рождения вихрей
Тейлора и азимутальных волн, между проницаемыми цилиндрами //
Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международ-
ной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Т. 2. С. 156–160.
6. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет коэффициентов амплитудной
системы в задаче о движениях вязкой жидкости между двумя вра-
щающимися проницаемыми цилиндрами // Совр. проблемы механи-
ки сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов
н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Том II. С. 103–107.
7. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых, соответ-
ствующих потере устойчивости основного режима движения жидкости
между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Неделя
науки 2007. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2007. С. 37–39.
8. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых монотонной
и колебательной неустойчивости кругового движения жидкости между
вращающимися проницаемыми цилиндрами // Материалы междуна-
родной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической
устойчивости и турбулентность». М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008. С. 74.
9. Романов М. Н. Расчёт коэффициентов амплитудной системы в задаче

об устойчивости течений между двумя вращающимися проницаемыми
цилиндрами // Труды аспирантов и соискателей Южного федерально-
го университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2009. Том XIV. С. 61–65.
17