shkolaput.ru 1

На правах рукописи

Самарина Ольга Владимировна
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ИНВАРИАНТОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ
05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ханты-Мансийск – 2008


Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО ”Югорского
государственного университета”.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
доцент Славский Виктор Владимирович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Родионов Евгений Дмитриевич;
доктор физико-математических наук,
профессор Никоноров Юрий Геннадьевич
Ведущая организация:
ГОУ ВПО "Кемеровский государственный
университет"
Защита состоится 25 декабря 2008 года в 16.00 часов на заседании диссер-
тационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО ”Алтайский государственный
университет” по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ”Алтайский
государственный университет” по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина,
61.
Автореферат разослан 24 ноября 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
д.ф.-м.н., профессор
С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования и состояние проблемы. Интенсивный
прогресс в области цифровой обработки изображений резко расширил воз-
можности получения, обработки, хранения и представления графической
информации. Однако при этом обозначились и новые вопросы, проблемы. К
числу таких проблем относится разработка новых эффективных математи-
ческих методов работы с изображениями. С одной стороны, на сегодняшний
день существует множество алгоритмов их обработки. С другой стороны,
большая информационная емкость изображений существенно ограничива-

ет пользователя в выборе методики обработки и дает повод к поиску более

эффективных и быстрых способов обработки и анализа графической инфор-
мации. В качестве важного стимула к разработке новых методик обработки
изображений необходимо отметить постоянное совершенствование компью-
терной техники и развитие математического аппарата.
Большое внимание разработке новых эффективных методов обработки
изображений уделено в работах отечественных и зарубежных ученых, та-
ких как Л.П. Ярославский, В.Н. Дементьев, И.С Грузман, А.А. Спектор,
В.С. Киричук, В.П. Косых, Г.И. Перетягин, У. Прэтт, Э. Айфичер, Р. Гон-
салес, Р. Вудс, T. Acharya, K. Ray, R. Baldock, J. Graham.
Одним из наиболее перспективных направлений в области обработки гра-
фической информации является нахождение геометрических характеристик
изображений, в том числе инвариантов изображения относительно различ-
ных групп преобразований. Инварианты играют важную роль в чистой и
прикладной математике и являются наиболее естественными характеристи-
ками изображения. Их можно использовать в самых различных прикладных
задачах: в задачах распознавания, отыскания снимка по образцу, в задачах
фотограмметрии, задачах привязки изображений, цифровой обработке мно-
гоканальных космических снимков.
Проблема привязки и совмещения изображений заключается в установ-
лении соответствия между точками двух или более изображений. Данная
3


задача является фундаментальной проблемой компьютерного видения, по-
скольку необходимость совмещения изображений возникает при решении та-
ких задач, как выявление изменений в серии изображений, анализ движения,
объединение информации от различных сенсоров, стереозрение и текстур-
ный анализ. Подобные проблемы, в свою очередь, возникают в биомедицин-
ских приложениях, при решении задач фотограмметрии и в зрении роботов,
при дистанционном сборе данных.

Многоканальные космические и радиолокационные снимки, содержащие

раздельные изображения в различных участках спектра, произвели насто-
ящую революцию в области дистанционного зондирования Земли. Послу-
жили толчком к развитию геоинформационных систем и разработке новых
математических методик работы с графической информацией, в том числе
с использованием инвариантов.
Перечисленные выше проблемы, а также необходимость их решения опре-
делили важную практическую значимость и актульность построения новых
геометрических методов обработки изображений и выбор темы настоящего
исследования.
Целью исследования является разработка новых эффективных мате-
матических методов работы с изображениями, применение которых каче-
ственно повышает возможности работы с графической информацией.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие зада-
чи:
– определение свойств и характеристик изображений, инвариантных от-
носительно определенной группы преобразований;
– анализ инвариантов изображения;
– разработка методики текстурного анализа изображений на основе инва-
риантов для предварительной обработки изображений;
– построение корректных схем квантизации функции изображения на дис-
кретный растр;
4


– разработка механизма определения точек для привязки изображений;
– создание программного обеспечения для анализа и синтеза изображе-
ний;
– экспериментальное апробирование разработанных средств и методов для
оценки их эффективности и возможностей использования при решении
прикладных задач.
Объектом исследования являются изображения различных типов, их
свойства и характеристики, процессы квантования и дискретизации изобра-
жений, математические методы обработки графической информации.
Предметом исследования являются математические методы анализа,
синтеза графических изображений, текстурный анализ изображений, опера-

торы квантизации функций изображений на дискретную сетку и программ-

ные средства обработки графической информации.
Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследо-
вания осуществлялось на основе комплексного использования системного
анализа, информационных технологий, аналитических и геометрических ме-
тодов исследования, основанных на теории инвариантов, аппарата вейвлет-
анализа в цифровой обработке изображений, методов математической ста-
тистики, экспериментальных исследований разработанных алгоритмов и ме-
тодик.
Основные положения, выносимые на защиту:
– конструкция инвариантов второго порядка для одноканального изобра-
жения относительно определенной группы преобразований;
– инварианты первого порядка для трехканальных изображений относи-
тельно различных групп преобразований;
– методика текстурного анализа изображений на основе инвариантов для
предварительной обработки изображений;
– программное обеспечение для анализа и синтеза изображений.
5


Научная новизна полученных результатов определяется впервые прове-
денными исследованиями, в результате которых разработан математический
аппарат для работы с изображениями и получены следующие результаты:
1. Разработана конструкция инвариантов второго порядка для одноканаль-
ного изображения относительно группы гомотетий и калибровки кана-
лов.
2. Впервые определено семейство инвариантов первого порядка для трех-
канальных изображений относительно группы гомотетий и калибровки
каналов.
3. Построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений
относительно проективной группы и калибровки каналов.
4. Предложена методика текстурного анализа изображений, основанная на
использовании инвариантов.
5. Построен программный комплекс для привязки и совмещения однока-
нальных и трехканальных изображений, основанный на использовании
инвариантов и вейвлет разложения.

Практическая значимость. Предложенный в работе геометрический

подход нахождения универсальных характеристик изображения может быть
использован при построении математического аппарата обработки графиче-
ской информации.
Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для создания
автоматизированных систем распознавания изображений, отыскания сним-
ка в графических базах по образцу, цифровой обработке многоканальных
космических снимков.
Полученные теоретические и практические результаты, а также разрабо-
таное программное обеспечение, могут быть использованы в учебном про-
цессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов по
цифровой обработке изображений.
6


Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских и
международных научно-технических конференциях: VI Всероссийской кон-
ференции молодых ученых по математическому моделированию и инфор-
мационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2005, г. Кеме-
рово; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому
моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных
ученых), 2006, г. Красноярск; VIII Всероссийской конференции молодых уче-
ных по математическому моделированию и информационным технологиям
(с участием иностранных ученых), 2007, г. Новосибирск; региональных кон-
ференциях по математике ”МАК - 2005”, ”МАК - 2006”, ”МАК - 2007”, г. Бар-
наул; Х научно-практической конференции ”Пути реализации нефтегазового
и рудного потенциала Ханты-Мансийского автономного округа-Югры”, 2006,
г. Ханты-Мансийск; VI межрегиональной конференции ”Информационные
технологии и решения для ”Электронной России”, 2007, г. Ханты-Мансийск;
Международной конференции ”Геометрия в Астрахани 2007”, г. Астрахань; II
Международной научно-технической конференции ”Информационные тех-
нологии в науке, образовании и производстве”, 2008, г. Орел; IV научно-

практической конференции ”Обратные задачи и информационные техноло-

гии рационального природопользования”, 2008, г. Ханты-Мансийск; IV Все-
российской научно-практической конференции ”Актуальные задачи матема-
тического моделирования и информационных технологий”, 2008, г. Сочи.
Публикации. По теме исследования опубликовано 15 печатных работ, в
том числе 9 статей в журналах (4 в периодических изданиях, рекомендован-
ных ВАК РФ, и 5 в сборниках работ конференции), 6 тезисов докладов на
конференциях.
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация содер-
жит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 137 стр. машинописного
текста. В работу включены 61 рис., 6 табл., список литературы из 112 наиме-
нований и два приложения, в которых представлены листинг программных
модулей и статистика обработки изображений в программном комплексе.
7


СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулиро-
ваны цель и основные задачи исследования. Определены объект, предмет
и методы исследования. Раскрыты научная новизна и практическая значи-
мость работы. Приведены основные положения, выносимые на защиту. Дан
краткий обзор содержания работы.
Первая глава диссертации ”Применение теории инвариантов при постро-
ении алгоритмов обработки изображений” посвящена элементарному введе-
нию в теорию инвариантов. Детально рассмотрена проблемная область ис-
следования – применение теории инвариантов в решении задач обработки
и анализа графических изображений. Определено содержание основных ис-
пользуемых понятий. Проведен аналитический обзор существующих мето-
дик и алгоритмов обработки одноканальных и трехканальных изображений,
основанных на использовании инвариантных характеристик относительно
группы преобразований.
Во второй главе ”Инварианты одноканального изображения” определе-
на группа инвариантов одноканального изображения относительно группы

преобразований, включающей в себя сдвиги, повороты, масштабирования и

калибровку.
Одноканальное изображение представимо в виде неотрицательной, два-
жды непрерывно дифференцируемой функции в некоторой области на плос-
кости, пусть тейлоровское разложение в начале координат имеет вид:
1
f (x, y) = a + p1x + p2y +
b
2
11x2 + 2b12xy + b22y2 + o x2 + y2 ,
где
∂f
∂f
a = f (0, 0),
p1 =
(0, 0),
p
(0, 0),
∂x
2 = ∂y
∂2f
∂2f
∂2f
b11 =
(0, 0),
b
(0, 0),
b
(0, 0).
∂x2
22 = ∂y2
12 = ∂x∂y
Предположим, что изображение подверглось преобразованию
Θ (λ, ρ, φ) : f (x, y) → eλf (eρ (x cos(φ) − y sin(φ)) , eρ (x sin(φ) + y cos(φ))) ,
8


т. е. повороту, растяжению. Множитель eλ можно интерпретировать как
фактор поглощения среды, действующий в окрестности исследуемой точки.
Нетрудно видеть, что преобразования Θ (λ, ρ, φ) удовлетворяют тождеству
Θ (λ1, ρ1, φ1) ◦ Θ (λ2, ρ2, φ2) = Θ (λ1 + λ2, ρ1 + ρ2, φ1 + φ2)
и образуют трехмерную коммутативную группу Ли G. Рассматривая дей-
ствие группы G на пространстве 2-струй функций J2(R2, 0) (тейлоровских
разложений 2 порядка), получим, что группа G действует в пространстве
параметров t = {a, p1, p2, b11, b22, b12} ∈ R6.
Определение 1. Будем называть функцию I (a, p1, p2, b11, b22, b12), нетож-
дественно равную константе, инвариантом 2-го порядка, если под действием
преобразований группы G она не меняется.
Для проведения анализа и обработки изображений предложен следующий
набор инвариантов:
p2
b
I
1 + p22
11p21 + 2b12p1p2 + b22p22
1 =
,
I
,
(b
2 =
22 + b11) a
(b222 + b211 + 2b212) a
−2b
−b2
I
12p1p2 + b11p22 + b22p21
12 + b11b22
3 =
,
I
,
(b2
4 = 2
22 + b211 + 2b212) a
b222 + b211 + 2 b212
I
(b
J
2

22 + b11) b11p21 + 2b12p1p2 + b22p22

2 =
=
,
I1
(b222 + b211 + 2b212) (p21 + p22)
I
(b
J
3
22 + b11) b11p22 − 2b12p1p2 + b22p21
3 =
=
.
I1
(b222 + b211 + 2b212) (p21 + p22)
В работе проведены экспериментальные исследования представленного на-
бора инвариантов в качестве характеристик изображения.
Необходимо отметить, что в процессе реальной обработки изображение
подвергается дискретизатиции, следствием которой является возникнове-
ние погрешностей при вычислении инвариантов. Во второй главе подробно
рассмотрены процессы дискретизации, квантования изображения. Описана
разработанная методика квантизации функции изображения на дискретный
растр, выполнена оценка погрешностей, связанных с квантованием функции
изображения.
9


В третьей главе ”Инварианты трехканального изображения” предло-
жен набор инвариантов первого порядка для трехканальных изображений
относительно движений, масштабирования и калибровки каналов. Дополни-
тельно определяется инвариант первого порядка относительно группы про-
ективных преобразований и калибровки каналов.
Трехканальное изображение представляется тремя неотрицательными
функциями в некоторой области на плоскости. Будем предполагать, что
функции 2-раза непрерывно дифференцируемы, тогда справедливо разло-
жение Тейлора 2-го порядка с центром в произвольной точке области:
1
f 1(x, y) = a1 + p11x + p12y +
b1
x2 + 2b1
xy + b1
y2 + o x2 + y2 ,
2
(2,0)
(1,1)
(0,2)
1
f 2(x, y) = a2 + p21x + p22y +
b2
x2 + 2b2
xy + b2
y2 + o x2 + y2 ,
2
(2,0)
(1,1)
(0,2)
1
f 3(x, y) = a3 + p31x + p32y +
b3
x2 + 2b3
xy + b3
y2 + o x2 + y2 .
2
(2,0)
(1,1)
(0,2)
Пусть f(x, y) = [f 1(x, y), f 2(x, y), f 3(x, y)], имеем:
∂f
∂f
a = f(0, 0),
p1 =

(0, 0),

p
(0, 0).
∂x
2 = ∂y
Предположим, что снимок подвергся преобразованию
Θ (λ, ρ, φ) : f(x, y) → eλf (eρ (x cos(φ) − y sin(φ)) , eρ (x sin(φ) + y cos(φ))) .
Здесь коэффициент eρ соответствует гомотетии изображения, угол φ – по-
вороту, а коэффициенты eλ = [eλ1, eλ2, eλ3] – калибровке 1, 2 и 3 каналов
соответственно. Множители eλi можно интерпретировать как факторы по-
глощения среды, действующие в окрестности исследуемой точки и соответ-
ствующие частотному диапазону данного канала. Пусть λ = [λ1, λ2, λ3] –
соответствующий вектор. Нетрудно видеть, что преобразования Θ (λ, ρ, φ)
удовлетворяют тождеству
Θ (λ1, ρ1, φ1) ◦ Θ (λ2, ρ2, φ2) = Θ (λ1 + λ2, ρ1 + ρ2, φ1 + φ2) ,
и образуют пятимерную коммутативную группу Ли G. Рассматривая дей-
ствие группы G на пространстве Jk3 = Jk(R2, R3) k-струй функций (тей-
лоровских разложений k-го порядка), получим, что группа G действует в
10


пространстве размерности n(k, 3) = 3(k+1)(k+2). Здесь k – порядок тейлоров-
2
ского разложения, а 3 – число каналов.
Определение 2. Будем называть числовую функцию I : Jk3 → R, нетожде-
ственно равную константе, инвариантом k-го порядка, если под действием
преобразований группы G она не меняется.
Справедлива теорема:
Теорема 1. Cледующие функции являются инвариантами:
p1
(a1)2((p2
I
2p22 + p11p21
2)2 + (p21)2)
1 =
,
I4 =
,
(a2)2((p1
(p1
2)2 + (p11)2)
2)2 + (p11)2)((p22)2 + (p21)2
p1
(a2)2((p3
I
2p32 + p11p31
2)2 + (p31)2)
2 =
,
I5 =
,
(a3)2((p2
(p1
2)2 + (p21)2)
2)2 + (p11)2)((p32)2 + (p31)2
p3
(a3)2((p1
I
2p22 + p31p21
2)2 + (p11)2)
3 =
,
I6 =
.
(a1)2((p3
(p3
2)2 + (p31)2)
2)2 + (p31)2)((p22)2 + (p21)2

Замечание. Наряду с инвариантами I1, I2, I3 будем рассматривать сопря-

женные к ним инварианты ˜
I1, ˜
I2, ˜
I3
˜
p1
I
1p22 − p12p21
1 =
,
(p12)2 + (p11)2)((p22)2 + (p21)2
˜
p3
I
1p12 − p32p11
2 =
,
(p12)2 + (p11)2)((p32)2 + (p31)2
˜
p2
I
1p32 − p22p31
3 =
.
(p32)2 + (p31)2)((p22)2 + (p21)2
В силу инвариантности относительно калибровки каналов, гомотетии и
поворота изображения при вычислении инвариантов можно перейти к ”нор-
11


мированным” функциям f 1(x, y), f 2(x, y), f 3(x, y) имеющим вид:
f 1(x, y) = 1 + p11x + p12y + o
x2 + y2 ,
f 2(x, y) = 1 + p21x + p22y + o
x2 + y2 ,
(0.0.1)
f 3(x, y) = 1 + p31x + p32y + o
x2 + y2 ,
где p11 = 1, а p12 = 0. Отсюда получим:
p21 = I1 I4, p22 = ˜
I1 I4,
1
1
p3


1 = I2
,
p3
.
I
2 = − ˜
I2
6
I6
Геометрический смысл векторов p1 = (p11, p12), p2 = (p21, p22), p3 = (p31, p32)
заключается в том, что они представляют собой градиенты нормированных
функций f 1(x, y), f 2(x, y), f 3(x, y). Треугольник
p1p2p3 не зависит от ка-
y
p2
S23
S12
p1
x
S31
p3
Рис. 1: Инвариантный симплекс, отвечающий RGB-изображению
либровки каналов и поворотов исходного изображения относительно начала
координат. Назовем его инвариантным RGB-симплексом. Координаты вер-
шин треугольника
p1p2p3 следующие:
−−→
p1 =
f 1 = (1, 0) ,
−−→
p2 =
f 2 = I1 I4, ˜
I1 I4 ,
−−→
1
1
p3 =
f 3 = I2 √ , − ˜
I √
.
I
2
6
I6
Определим попарные векторные произведения векторов p1, p2, p3 – эти
произведения будут представлять собой удвоенные площади треугольников,
12

определенных этими векторами (см. рис. 1):
1
0
S12 =


= ˜
I1 I4,

I

˜
1
I4 I1 I4


I
I
˜
I
I
I
S
1
4
1
4
4
˜
23 =
=
−I1I2 − ˜
I1I2 ,
I 1
1
I
2 √
− ˜
I √
6
I
2
6
I6
I 1

− ˜
I 1

1
S
2 I
2 I
31 =
6
6
= ˜
I2 √ .
1
0
I6
Определение 3. Определим множество ”особых” точек – Ω для RGB-изоб-
ражения, как ”особые” точки суммы нормированных функций RGB-изобра-
жения
F = f 1 + f 2 + f 3.
В этих точках сумма градиентов нормированных каналов равняется нулю,
что в терминах величин S12, S23, S31 означает равенство S12 = S23 = S31.
Приближенное равенство S12 = S23 = S31 можно записать в виде системы
неравенств:



S
1

12


< ε,

 S
3

12 + S23 + S31

S23
1

< ε,
(0.0.2)

 S
3

12 + S23 + S31




S
1

31

< ε.
S12 + S23 + S31
3
Обозначим множество точек, удовлетворяющих данной системе за M ε000.
Замечание. При ε ≤ 1/6 множество M ε000 будет лежать в множестве M000 –
области внутри треугольника
p1p2p3. На рисунке 2 изображены множества
M ε000 при ε равном 1/12 и 1/6.
Для отсева ”особых” точек, используем систему 0.0.2. Будем подбирать ε
таким образом, чтобы в область M ε000 ⊂ M000 попадало около 10 наиболее ха-
рактерных точек. Опытным путем было выяснено, что для удовлетворения
этого условия ε рекомендуется выбирать в пределах ε < 0.05.
13


p2
p2
p1
p1
p3
p3
Рис. 2: Множества M ε000 при ε равном 1/12 (слева) и 1/6 (справа)
Проведенные экспериментальные исследования показывают, что множе-

ство ”особых” точек Ω является инвариантной характеристикой изображе-

ния в целом, его можно использовать в различных задачах обработки и
анализа изображений.
При исследовании цифровых многоканальных изображений достаточно
часто возникает задача определения характеристик изображения, инвари-
антных относительно группы проективных преобразований, т.е. преобразо-
ваний, возникающих в результате различного положения фотокамеры и раз-
личной калибровки каналов в момент съемки. В диссертационном исследо-
вании определена новая характеристика изображения – инвариант относи-
тельно группы проективных преобразований и калибровки каналов.
Теорема 2. Cледующая функция является инвариантом относительно
группы проективных преобразований:
a1 p2
I =
2p31 − p21p32 .
(0.0.3)
a2 (p11p32 − p12p31)
При построении статистических моделей форм образов в теории распозна-
вания и анализа изображений большую роль играет теория геометрических
вероятностей. В третьей главе представлена методика применения геометри-
ческого и вероятностного подхода к решению задач распознавания текстуры
изображений и выявления на снимках общих областей. Определяется и ис-
следуется коэффициент перекрытия двух выпуклых изображений, вычисля-
ется функция распределения коэффициента перекрытия для изображений.
В четвертой главе ”Программный комплекс обработки одноканальных и
трехканальных изображений” предложена методика обработки одноканаль-
14


ных и трехканальных изображений с использованием дифференциальных
инвариантов, представленных во второй и третьей главах.
Была поставлена задача нахождения точек на двух изображениях с одина-
ковыми значениями инвариантов (в диссертации используется термин ”осо-
бые” точки). При априорной информации, что данные изображения имеют
общие точки, ”особые” точки можно рассматривать как одинаковые и ис-

пользовать их в задаче привязки изображений и в других важных задачах.

Отметим, что простой перебор попарно двух точек в двух изображениях с
вычислительной точки зрения неприемлем, так для двух изображений раз-
мера 512 × 512 общий объем перебора составляет 5124 = 68719476736. По-
этому в основу алгоритма был положен принцип пирамидальной обработки
изображений.
С помощью вейвлет-разложения (использовался вевлет Хаара) сначала
строятся огрубленные версии изображений и для них находятся пары гру-
бых ”особых” точек для которых инварианты мало отличаются между собой.
Затем берутся более подробные изображения (уровень вейвлет-разложения
понижается) и в окрестностях выбранных на предыдущем шаге пар точек
ведется поиск пары точек с более близкими значениями инвариантов.
Так как при этом исключается полный перебор пар точек и так как в
силу алгоритмов для нахождения вейвлет-разложения не требуется заново
строить это разложение в более низком уровне, данная метода оказалась
эффективной даже при скромных требованиях на ЭВМ.
Выбор вейвлета Хаара основан на его простоте и том, что инварианты
(комбинации первых производных) легко выражаются через коэффициенты
вейвлет-разложения.
В конечном итоге, после анализа изображений, программа либо сообща-
ет, что похожих (”особых”) пар точек нет, либо выдает такие пары точек. В
последнем случае за оператором остается окончательный выбор пар одина-
ковых точек для привязки изображений. Таким образом, данная программа
позволяет в полуавтоматическом режиме осуществлять привязку двух изоб-
15


ражений, исследовать семейство изображений на предмет поиска изображе-
ний с общими точками.
В главе описаны основные программно-технологические решения, создан-
ные в рамках диссертационного исследования. Приведено подробное описа-
ние разработанного программного комплекса – методов, моделей и алгорит-
мов обработки и анализа графических изображений.

Результаты данной главы имеют экспериментальный характер и предна-

значены для иллюстрации потенциальных возможностей использования ин-
вариантных характеристик относительно групп преобразований для обра-
ботки изображений.
В приложении 1 представлен листинг программных модулей, разрабо-
танных в системе Matlab.
В приложении 2 представлена статистика обработки одноканальных и
трехканальных изображений в программном комплексе.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
В ходе проведенного исследования решены поставленные задачи и достиг-
нуты следующие результаты:
– разработана конструкция из четырех инвариантов второго порядка для
одноканального изображения относительно группы гомотетий и калиб-
ровки каналов;
– определено семейство инвариантов первого порядка для трехканальных
изображений относительно группы гомотетий и калибровки каналов;
– построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений
относительно проективной группы и калибровки каналов;
– разработан метод текстурного анализа для трехканальных изображений,
основанный на использовании множества ”особых” точек – Ω для RGB-
изображения.
16


– в системе MATLAB построен программный комплекс для обработки од-
ноканальных и трехканальных изображений, решающий задачи выде-
ления точек для привязки изображений и совмещения изображений по
заданным точкам.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ∗
1. Батгауэр, О.В. Инвариантный вейвлет-дескриптор для формирования
запроса изображений / О. В. Батгауэр // VI Всероссийская конферен-
ция молодых ученых по математическому моделированию и информа-
ционным технологиям : материалы конференции. – Кемерово, 2005.
2. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и рас-
тяжений / О. В. Батгауэр, В.В. Славский // VII Всероссийская кон-
ференция молодых ученых по математическому моделированию и ин-
формационным технологиям : материалы конференции. – Красноярск,

2006.

3. Батгауэр, О.В. Вейвлет-дескриптор изображения инвариантный отно-
сительно движений и растяжений // О.В. Батгауэр, В.В. Славский //
МАК-2006 : материалы девятой региональной конференции по матема-
тике. – Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2006. – C. 42–44.
4. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и рас-
тяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Новые материалы и тех-
нологии в машиностроении : сборник тезисов всероссийской научно -
технической конференции. – Рубцовск, 2006. – С. 7–8.
5. Батгауэр, О.В. Локальные инварианты изображения относительно пово-
ротов и растяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Математическое
образование на Алтае : тезисы региональной конференции. – Барнаул :
Изд-во БГПУ, 2006. – С. 50–51.
6. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и рас-
тяжений // О.В. Батгауэр, В.В. Славский // МАК-2007 : материалы
∗Жирным шрифтом выделены статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
17


десятой региональной конференции по математике. – Барнаул : Изд-во
Алт. ун-та, 2007. – С. 35–36.
7. Самарина, О.В. Групповой подход к изучению и обработке зрительных
образов / О. В. Самарина // VIII Всероссийская конференция молодых
ученых по математическому моделированию и информационным техно-
логиям : материалы конференции. – Новосибирск, 2007. – С. 106.
8. Самарина, О.В. Инварианты изображения относительно пово-
ротов и растяжений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Вест-
ник СамГУ. – 2007. – № 9/1. – С. 128-137.
9. Самарина, О.В. Применение инвариантов при сопоставлении и привязке
изображений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Геометрия в Астрахани-
2007 : тезисы докладов международной конференции, посвященной па-
мяти и в связи с 85-летием Г.Ф.Кушнера. – Астрахань, 2007. – С. 54–56.
10. Самарина, О.В. Инварианты многоканального изображения /

О.В. Самарина, В.В. Славский // Известия ОрелГТУ, серия :

фундаментальные и прикладные проблемы техники и техно-
логий: информационные системы и технологии. – Орел, 2007.
– №4-2/268(535). – С. 47-56.
11. Самарина, О.В. Использование инвариантов при поиске соответствия
изображений / О.В. Самарина // Вестник Югорского государственного
университета. – Ханты-Мансийск, 2008. – Выпуск 1(8). – С. 110–113.
12. Самарина, О.В. Геометрический подход к решению задач распознава-
ния текстуры изображений / О.В. Самарина // Актуальные задачи
математического моделирования и информационных технологий : ма-
териалы четвертой всероссийской научно-практической конференции. –
Сочи, 2008. – С. 137–138.
13. Самарина, О.В. Новый методологический подход к цифровой
обработке изображений, основанный на теории геометрических
18


инвариантов / О.В. Самарина // Информационные техноло-
гии в науке, образовании и производстве : материалы третьей
международной научно-технической конференции. – Орел, 2008.
– №1-2/269(544). – С. 195-199.
14. Самарина, О.В. Применение инвариантов при цифровой обработке дан-
ных дистанционного зондирования Земли / О.В. Самарина // Обрат-
ные задачи и информационные технологии рационального природополь-
зования : материалы четвертой научно-практической конференции. –
Ханты-Мансийск, 2008. – С. 161–163.
15. Самарина, О.В. Инварианты одноканального изображения /
О.В. Самарина // Вестник НГУ, серия : информационные тех-
нологии. – Новосибирск, 2008. – Том 6, выпуск №1. – С. 69-79.
19

Подписано в печать 21.11.2008
Формат 60 × 80/16
Офсетная печать
Усл. печ. л. 1,25
Заказ 672
Тираж
100 экз.
Редакционно-издательский центр ЮГУ
628012, Ханты-Мансийский автономный округ - Югра
г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова 16